Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Man löse das Anfangswertproblem
[mm] y''=2y'+2(y')^{3}+yy'+y(y')^{3}, [/mm] y(1)=0, y'(1)=0 |
[mm] y''=2y'+2(y')^{3}+yy'+y(y')^{3}, [/mm] y(1)=0, y'(1)=0 x fehlt
Substitution: u=u(y)=y', y''=u'y' [mm] \Rightarrow [/mm] y''=u'u
[mm] \Rightarrow u'u=2u+2u^{3}+yu+yu^{3} [/mm] | * [mm] \bruch{1}{u}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u'=2(1+u^{2})+y+yu^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow u'=2(1+u^{2})+y(1+u^{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow u'=(2+y)(1+u^{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{du}{dy}=(2+y)(1+u^{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral {\bruch{du}{(1+u^{2}}}=\integral [/mm] (2+y)dy
[mm] \Rightarrow arctan(u)=2y+\bruch{1}{2}y^{2}+c
[/mm]
Rücksubstitution: u=y'
[mm] \Rightarrow arctan(y')=2y+\bruch{1}{2}y^{2}+c
[/mm]
y(1)=0
y'(1)=0
[mm] \Rightarrow arctan(0)=2(0)+\bruch{1}{2}0^{2}+c=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=0
[mm] \Rightarrow arctan(y')=2y+\bruch{1}{2}y^{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y'=tan(2y+\bruch{1}{2}y^{2}) [/mm] trennbar
[mm] \Rightarrow \bruch{dy}{dx}=tan(2y+\bruch{1}{2}y^{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \integral {\bruch{dy}{tan(2y+\bruch{1}{2}y^{2})}}=\integral [/mm] dx
ich denke bis hier hin ist es richtig, ...
an dieser stelle komme ich jedoch nicht weiter.. habe es versucht z.B mit [mm] u=2y+\bruch{1}{2}y^{2} [/mm] zu substituieren, aber ohne Erfolg.. jemand eine idee wie ich diese aufgabe zu ende bringen kann?
vielen dank, matthias
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:22 Do 25.06.2009 | | Autor: | matzew611 |
ansonsten wäre einfach eine überprüfung von dem bis dahin gerechneten nett, vll habe ich mich ja doch verrechnet und ich bekomme es deshalb nicht zu ende
|
|
|
| |
|
Hallo matzew611,
> Man löse das Anfangswertproblem
>
> [mm]y''=2y'+2(y')^{3}+yy'+y(y')^{3},[/mm] y(1)=0, y'(1)=0
> [mm]y''=2y'+2(y')^{3}+yy'+y(y')^{3},[/mm] y(1)=0, y'(1)=0 x
> fehlt
>
> Substitution: u=u(y)=y', y''=u'y' [mm]\Rightarrow[/mm] y''=u'u
>
> [mm]\Rightarrow u'u=2u+2u^{3}+yu+yu^{3}[/mm] | * [mm]\bruch{1}{u}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u'=2(1+u^{2})+y+yu^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u'=2(1+u^{2})+y(1+u^{2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u'=(2+y)(1+u^{2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{du}{dy}=(2+y)(1+u^{2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral {\bruch{du}{(1+u^{2}}}=\integral[/mm]
> (2+y)dy
>
> [mm]\Rightarrow arctan(u)=2y+\bruch{1}{2}y^{2}+c[/mm]
>
> Rücksubstitution: u=y'
>
> [mm]\Rightarrow arctan(y')=2y+\bruch{1}{2}y^{2}+c[/mm]
>
> y(1)=0
> y'(1)=0
>
> [mm]\Rightarrow arctan(0)=2(0)+\bruch{1}{2}0^{2}+c=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c=0
>
>
> [mm]\Rightarrow arctan(y')=2y+\bruch{1}{2}y^{2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y'=tan(2y+\bruch{1}{2}y^{2})[/mm] trennbar
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{dy}{dx}=tan(2y+\bruch{1}{2}y^{2})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \integral {\bruch{dy}{tan(2y+\bruch{1}{2}y^{2})}}=\integral[/mm]
> dx
>
>
> ich denke bis hier hin ist es richtig, ...
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> an dieser stelle komme ich jedoch nicht weiter.. habe es
> versucht z.B mit [mm]u=2y+\bruch{1}{2}y^{2}[/mm] zu substituieren,
> aber ohne Erfolg.. jemand eine idee wie ich diese aufgabe
> zu ende bringen kann?
Wahrscheinlich existiert für das Integral keine geschlossene Formel.
Jedenfalls ist mit keine solche bekannt.
>
> vielen dank, matthias
Gruß
MathePower
|
|
|
|
