Anfangswertproblem < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Lösen sie das folgende Anfangswertproblem für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung:
x(y'-y) = [mm] (1+x^2)*e^x
[/mm]
y(-1) = 1/e |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also ich habe als erstes umgeformt:
x(y'-y) = [mm] (1+x^2)*e^x [/mm] --> (y'-y) = [mm] [(1+x^2)*e^x] [/mm] : x
und dann die allgemeine homog. Gleichung best.:
y' -y = 0 ergibt:
y = [mm] c_1 *e^x [/mm] + [mm] c_2 [/mm] * x * [mm] e^x
[/mm]
daraufhin habe ich y(-1) = 1/e "eingesetzt":
y(-1) = [mm] (c_1 [/mm] - [mm] c_2) [/mm] / e
also muss [mm] c_1 [/mm] - [mm] c_2 [/mm] = 1, wegen y(-1) = 1/e
dann habe ich y'(-1) = [mm] (-c_1 [/mm] + [mm] c_2) [/mm] / e
und nun weiß ich nicht weiter...
wisst ihr, was ich nun machen muss?
|
|
| |
|
Hallo,
ich schätze du hast dich bei deiner homogenen Lösung vertan:
> y' -y = 0 ergibt:
>
> y = [mm]c_1 *e^x[/mm] + [mm]c_2[/mm] * x * [mm]e^x[/mm]
setze das doch zur Kontrolle mal ein.
Außerdem brauchst du bei einer inhomogenen DGL noch eine spezielle Lösung, die in diesem Fall meiner Meinung nach nicht besonders trivial ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
ich habe das mit dem ansatz gerechnet: y = e^(lambda*x)
daher mein ergebnis...
weiß absolut nicht, was ich so wirklich machen soll bei der aufgabe
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Sa 27.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die allgemeine Lösung einer Dgl. erster Ordnung kann nur eine Konstante haben.
hier ist also die Lösung der homogenen Dgl
[mm] y_h(x)=C*e^x
[/mm]
jetzt musst du die Lösung der inhomogenen suchen. entweder geschickt raten( ist hier nicht so einfach) oder durch Variation der Konstanten, also dem Ansatz [mm] y=C(x)*e^x
[/mm]
in die inhomogene Dgl einsetzen, du kriegst nen ausdruck für C'(x), daraus C(x) und damit hast du dann die vollst. lösung.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
wenn ich das richtig verstanden hab, komme ich auf die spezielle inhomogene Lösung:
[mm] y_i [/mm] = -1/2 * [mm] e^x
[/mm]
und dann lautet die allgemeine Lösung:
[mm] y_a [/mm] = c * [mm] e^x [/mm] - [mm] 1/2e^x
[/mm]
stimmt das?
|
|
|
| |
|
Hallo dieBiene85,
> wenn ich das richtig verstanden hab, komme ich auf die
> spezielle inhomogene Lösung:
>
> [mm]y_i[/mm] = -1/2 * [mm]e^x[/mm]
>
> und dann lautet die allgemeine Lösung:
>
> [mm]y_a[/mm] = c * [mm]e^x[/mm] - [mm]1/2e^x[/mm]
>
> stimmt das?
Leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Poste doch die bisherigen Rechenschritte, wie Du auf
diese inhomogene Lösung gekommen bist.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
also so bin ich ran:
ansatz inhomogene Gl.:
y = c * [mm] e^x
[/mm]
y' = c *x * [mm] e^x
[/mm]
für y' - y:
[mm] y_i [/mm] = c *x * [mm] e^x [/mm] - c * [mm] e^x
[/mm]
[mm] y_i [/mm] = c * [mm] e^x [/mm] (x-1)
für y(-1) = 1/e:
y(-1) = c * e^-1 (-1-1)
y(-1) = -2c / e
c = -1/2
deshalb:
y = [mm] -e^x [/mm] / 2
allgemeine Lösung:
[mm] y_a [/mm] = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_i
[/mm]
[mm] y_a [/mm] = c * [mm] e^x [/mm] - [mm] e^x [/mm] / 2
|
|
|
| |
|
Hallo die Biene85,
> also so bin ich ran:
>
> ansatz inhomogene Gl.:
>
> y = c * [mm]e^x[/mm]
Der Ansatz für die inhomogenen Gleichung lautet doch_
[mm]y=c\left(x\right)*e^{x}[/mm]
> y' = c *x * [mm]e^x[/mm]
Daher ist
[mm]y'=c'\left(x\right)*e^{x}-c\left(x\right)*e^{x}[/mm]
Dies setzt Du jetzt in die inhomogene Gleichung ein,
und bekommst dann einen Ausdruck für [mm]c\left(x\right)[/mm]
>
> für y' - y:
>
> [mm]y_i[/mm] = c *x * [mm]e^x[/mm] - c * [mm]e^x[/mm]
>
> [mm]y_i[/mm] = c * [mm]e^x[/mm] (x-1)
>
> für y(-1) = 1/e:
>
> y(-1) = c * e^-1 (-1-1)
> y(-1) = -2c / e
>
> c = -1/2
>
> deshalb:
>
> y = [mm]-e^x[/mm] / 2
>
> allgemeine Lösung:
>
> [mm]y_a[/mm] = [mm]y_h[/mm] + [mm]y_i[/mm]
>
> [mm]y_a[/mm] = c * [mm]e^x[/mm] - [mm]e^x[/mm] / 2
>
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:24 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
> Daher ist
>
> [mm]y'=c'\left(x\right)*e^{x}-c\left(x\right)*e^{x}[/mm]
>
heißt es nicht:
y' = c'(x) * [mm] e^x [/mm] + c(x) * x * [mm] e^x [/mm] nach produktregel?
|
|
|
| |
|
Hallo dieBiene85,
> > Daher ist
> >
> > [mm]y'=c'\left(x\right)*e^{x}-c\left(x\right)*e^{x}[/mm]
> >
> heißt es nicht:
>
> y' = c'(x) * [mm]e^x[/mm] + c(x) * x * [mm]e^x[/mm] nach produktregel?
Nein.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Sa 27.03.2010 | | Autor: | dieBiene85 |
ich glaub ich geb auf... ich raffs einfach nicht :-(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Sa 27.03.2010 | | Autor: | MathePower |
Hallo dieBiene85,
> ich glaub ich geb auf... ich raffs einfach nicht :-(
Das hilft Dir bestimmt weiter: Ableitungsregel
Gruss
MathePower
|
|
|
|
