Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mo 10.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
| Aufgabe | Lösen des Anfangswertsproblems für
[mm] \vektor{x'(t)\\ y'(t)} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \vektor{x(t)\\ y(t)}
[/mm]
[mm] \vektor{x(0)\\ y(0)} [/mm] = [mm] \vektor{1\\ 0} [/mm] |
Hallo zusammen,
wollte die Aufgabe zum Anfangswertproblem lösen aber komme da nicht ganz weiter.
Hab im Skript folgende Formel gefunden mit der ich das berechnen wollte : exp (t(A))= T*B*T^(-1)
Hab so angefangen:
[mm] \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \vektor{x(t)\\ y(t)}
[/mm]
Eigenwerte:
[mm] (1-\lambda)(1-\lambda)+1=0
[/mm]
[mm] (1-\lambda)^2+1=0
[/mm]
[mm] 1-\lambda= \pm [/mm] i
[mm] \lambda [/mm] = 1 [mm] \pm [/mm] i
ist das schonmal richtig?
jetzt die eigenvektoren:
[mm] \pmat{ 1-(1+i) & -1 \\ 1 & 1-(1+i) } [/mm] ->
[mm] \pmat{ -i & -1 \\ 1 & -i } [/mm] 1.zeile *(-i) +2. zeile
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 1 & -i }
[/mm]
wähle [mm] t=x_2
[/mm]
-t+ [mm] x_1=0
[/mm]
[mm] t=x_1 [/mm]
[mm] \phi_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1-(1-i) & -1 \\ 1 & 1-(1-i) }
[/mm]
für [mm] \phi_2 [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
T= [mm] \pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
dann wollte ich T^(-1) berechnen aber bekäme [mm] \pmat{ 1 & -1 | 1 & 0\\ 0 & 0 | 0 & 1} [/mm] raus und komme somit auf keine Inverse
kann mir da vllt jmd weiterhelfen?
Gruß,
peeetaaa
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Hallo peeetaaa,
> Lösen des Anfangswertsproblems für
>
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> [mm]\vektor{x'(t)\\ y'(t)}[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \vektor{x(t)\\ y(t)}[/mm]
>
> [mm]\vektor{x(0)\\ y(0)}[/mm] = [mm]\vektor{1\\ 0}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> wollte die Aufgabe zum Anfangswertproblem lösen aber komme
> da nicht ganz weiter.
> Hab im Skript folgende Formel gefunden mit der ich das
> berechnen wollte : exp (t(A))= T*B*T^(-1)
> Hab so angefangen:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \vektor{x(t)\\ y(t)}[/mm]
>
> Eigenwerte:
>
> [mm](1-\lambda)(1-\lambda)+1=0[/mm]
> [mm](1-\lambda)^2+1=0[/mm]
> [mm]1-\lambda= \pm[/mm] i
> [mm]\lambda[/mm] = 1 [mm]\pm[/mm] i
>
> ist das schonmal richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> jetzt die eigenvektoren:
>
>
>
> [mm]\pmat{ 1-(1+i) & -1 \\ 1 & 1-(1+i) }[/mm] ->
>
> [mm]\pmat{ -i & -1 \\ 1 & -i }[/mm] 1.zeile *(-i) +2. zeile
>
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & -i }[/mm]
>
> wähle [mm]t=x_2[/mm]
> -t+ [mm]x_1=0[/mm]
> [mm]t=x_1[/mm]
> [mm]\phi_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -1}[/mm]
>
Dieser Eigenvektor muss doch so lauten:
[mm]\phi_{1} = \vektor{1 \\ -\red{i}}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1-(1-i) & -1 \\ 1 & 1-(1-i) }[/mm]
> für [mm]\phi_2[/mm] =
> [mm]\vektor{-1 \\ 1}[/mm]
Auch hier stimmt der Eigenvektor nicht.
>
> T= [mm]\pmat{ 1 & -1 \\ -1 & 1 }[/mm]
> dann wollte ich T^(-1)
> berechnen aber bekäme [mm]\pmat{ 1 & -1 | 1 & 0\\ 0 & 0 | 0 & 1}[/mm]
> raus und komme somit auf keine Inverse
>
> kann mir da vllt jmd weiterhelfen?
>
> Gruß,
> peeetaaa
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Di 11.05.2010 | | Autor: | peeetaaa |
Ach okay! Danke!!
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