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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 17.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem.
[mm] $q^{1}= \pmat{ 7 & 1 & -8 \\ 0 & -1 & 0 \\ 4 & 1 & -5}q [/mm] , [mm] q(0)=\vektor{3 \\ -3 \\ 2} [/mm] |
Hallo zusammen. Ich würde gerne wissen, ob meine Vorgehensweise korrekt ist.
Zunächst Eigenwerte und die Eigenvektoren bestimmen. Dabei komme ich auf:
$EW: 3,-1,-1$
$EV: [mm] EV_{3}=c\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] ; [mm] EV_{-1}=c\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] ; [mm] EV_{-1}=c\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] $
Dann [mm] $e^{\lambda t}$-Ansatz. [/mm]
[mm] $\vec{y}(t)=C_{1}e^{3t}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+C_{2}e^{-t}\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Der dritte Eigenvektor entfällt, da Nullvektor.Jetzt die Konstanten bestimmen, wobei ich auf [mm] $C_{1}=C_{2}=1$ [/mm] komme.
Also:
[mm] $\vec{y}(t)=e^{3t}\vektor{2 \\ 0 \\ 1}+e^{-t}\vektor{1 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Vielen Dank !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:01 So 17.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
also deine Lösung ist falsch. Sie löst ja das Anfangswertproblem aus der Angabe nicht. Das hättest du eigentlich bei der Bestimmung von [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] merken müssen, denn
[mm]q(0) = e^{3*0}\vektor{2 \\ 0 \\ 1} + e^{-1*0}\vektor{1 \\ 0 \\ 1} = \vektor{2 \\ 0 \\ 1} + \vektor{1 \\ 0 \\ 1} \neq \vektor{3 \\ -3 \\ 2} [/mm].
Vlt. findest du den Fehler ja.
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 So 17.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Das stimmt. Aber wie geht man dann vor?
Bei den Eigenvektoren sieht man, dass [mm] x_{2} [/mm] bei allen Vektoren 0 ist. Da kann ich also auch mit beliebigen Vielfachen nichts anfangen. Daher kann ich ja gar nicht auf die -3 kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 17.06.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
der Fehler ist der. Weil -1 algebraische Vielfachheit 2 besitzt und [mm] dim(E(\lambda [/mm] = 3)) + [mm] dim(E(\lambda [/mm] = -1)) = 2 < 3 = [mm] dim(\IR^3) [/mm] musst du den Lösungsraum von [mm] (A+I_3)^2x=0 [/mm] betrachten. Der hat dann Dimension 2, ist also der Hauptraum von [mm] \lambda=-1. [/mm] Um dann eine [mm] (A+I_3)-adaptierte [/mm] Basis von [mm] H(\lambda=-1) [/mm] zu finden musst du das lineare Gleichungssystem [mm] (A+I_3)x [/mm] = b, wobei [mm] b=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Damit erhälst du dann deinen dritten Eigenvektor. Die Basis die du dann erhälst ist [mm] \{\vektor{2 \\ 0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{... \\ ... \\ ...} \}. [/mm] Und damit kannst du dann die Lösung angeben.
Grüße
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 So 17.06.2012 | | Autor: | teo |
Ich habe als Jordan-Basis: [mm] \{\vektor{2 \\ 0 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\1},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}\} [/mm] Achtung! Reihenfolge wichtig!
Lösung: q(t) = [mm] c_1e^{3t}\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c_2e^{-t}\vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] c_3e^{-t}(\vektor{1 \\ 0 \\ 1}t [/mm] + [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Mi 20.06.2012 | | Autor: | Ciotic |
Danke für die Erklärungen.
Ich muss mir das nochmal überlegen, so ganz ist mir das nicht klar.
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