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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Di 15.12.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | In zwei Räumen, die durch eine Türe verbunden sind, befinden sich zu Beginn v(0) = 30 bzw. w(0) = 10 Personen. Die Türe wird geöffnet und die Leute strömen von Raum zu Raum proportional zur Differenz v-w:
[mm] $\bruch{d}{dt}v [/mm] = w - v$
[mm] $\bruch{d}{dt}w [/mm] = v - w$
a, Zeige: v+w ist konstant.
b, Finde die Systemmatrix und ihre Eigenwerte und Eigenvektoren.
c, Berechne v(1) und w(1). |
Hallo,
a,
Hierbei ist mir schon klar, dass sich ingesamt 40 Personen in beiden Räumen befinden, somit v+w konstant ist. Aber wie zeige ich so etwas?
v-w beschreibt ja die Veränderung, also Personen verlassen den einen Raum und gehen zum anderen usw. usf.
b,
Ich habe das System:
[mm] $\bruch{d}{dt}v [/mm] = w - v$
[mm] $\bruch{d}{dt}w [/mm] = v - w$
umgeschrieben zu:
[mm] $\bruch{d}{dt}v [/mm] = w - v$
[mm] $\bruch{d}{dt}w [/mm] = -w+v$
Somit erhalte ich folgende Systemmatrix: A = [mm] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Die Determinante det(A) = 0, somit ist die Matrix schon singulär, daraus folgt direkt, dass ein Eigenwert [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 ist.
Über die Spur(A) = 1+1 = [mm] \lambda_1+\lambda_2 [/mm] -> [mm] \lambda_2 [/mm] = 2 gelangt man zum zweiten Eigenwert. Nun noch die Eigenvektoren entsprechend berechnen, diese lauten wie folgt:
[mm] x_1 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] und [mm] x_2 [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Aus der Angabe, wie viele Personen zum Zeitpunkt t=0, sich in welchen Räumen befunden haben, kann man nun [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] für die Exponentialfunktion ermitteln
Sc = u(0)
[mm] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 30 \\ 1 & 1 & 10 \end{bmatrix} [/mm] -> [mm] \begin{bmatrix} 1 & -1 & 30 \\ 0 & 2 & -20 \end{bmatrix}
[/mm]
-> [mm] c_{12} [/mm] = -10 und [mm] c_{11}+c_{12}=30 [/mm] -> [mm] c_{11} [/mm] = 20
Wenn man nun alle Zwischenergebnisse verwendet, komme ich auch folgendes Endergebnis:
v(t) = 20 [mm] \cdot{} e^{0t} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 20 \\ 20 \end{bmatrix} [/mm]
w(t) = -10 [mm] \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
Stimmt dies?
c,
Zum Zeitpunkt t=1 ist die Verteilung der Personen auf die Räume:
v(1) = [mm] \begin{bmatrix} 20 \\ 20 \end{bmatrix}
[/mm]
w(1) = [mm] \begin{bmatrix} 73,89 \\ -73,89 \end{bmatrix}
[/mm]
Das Ergebnise für w(1) stimmt doch nicht?
v(t) ist konstant, egal welcher Zeitpunkt, somit wäre die Verteilung der Personen nach einger gewissen Zeitspanne auch konstant, also immer 20 Personen pro Raum. Kann das sein?
Vielen Dank
itse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Di 15.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu a) bilde t $ [mm] \bruch{d}{dt}(v+w) [/mm] = ?$
daraus kommt direkt v+w=konst.
Deine Lösungen sind nicht Lösung zu v oder w sondern zum "Vektor" [mm] \vektor{v(t) \\ w(t)}, [/mm] für den gilt doch das System.Und dann hast du die Summe der Lösungen, die du für v und w hingeschrieben hast als Lösung für [mm] \vektor{v(t) \\ w(t)}
[/mm]
was soll denn ein Vektor [mm] v(t)=\vektor{20 \\ 20} [/mm] bedeuten?
entsprechend musst du die Auswertung noch ändern!
Wenn der Zustand 20,20 ist ändert sich nichts mehr, da dann ja v'=w'=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mi 16.12.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
> zu a) bilde t [mm] \bruch{d}{dt}(v+w) = ?[/mm]
> daraus kommt direkt
> v+w=konst.
Ich probiers mal:
[mm] \bruch{d}{dt}(v+w) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt}v+ \bruch{d}{dt} [/mm] w = w - v + v - w = 0 (konstant)
Wäre das so richtig?
> Deine Lösungen sind nicht Lösung zu v oder w sondern zum
> "Vektor" [mm]\vektor{v(t) \\ w(t)},[/mm] für den gilt doch das
> System.Und dann hast du die Summe der Lösungen, die du
> für v und w hingeschrieben hast als Lösung für
> [mm]\vektor{v(t) \\ w(t)}[/mm]
Im Endeffekt wird das ganze System durch:
$u(t) = 20 [mm] \cdot{} e^{0t} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] -10 [mm] \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] = 20 [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] -10 [mm] \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$
[/mm]
beschrieben.
Irgendwie verstehe ich das ganze noch nicht so ganz, also wie ich die Auswertung anpassen muss, dass da v(t) und w(t) steht. Der erste Teil der Lösung (Eigenvektor [mm] \lambda_1) [/mm] steht doch für w(t) und der zweite Teil (Eigenvektor [mm] \lambda_2) [/mm] für v(t).
Die Systemmatrix habe ich ja so umgeformt, das an erster Stelle das w steht:
$ [mm] \begin{bmatrix} \bruch{dv}{dt} \\ \bruch{dw}{dt} \end{bmatrix} [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\ v \end{bmatrix}$
[/mm]
Wie müsste ich denn die Auswertung anpassen?
Wir nehmen die Differentialgleichung nur zur Anwendung der LinAlg her, aber keinerlei tiefere Erläuterungen dazu.
Grüße
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
> Ich probiers mal:
>
> [mm]\bruch{d}{dt}(v+w)[/mm] = [mm]\bruch{d}{dt}v+ \bruch{d}{dt}[/mm] w = w -
> v + v - w = 0 (konstant)
> Wäre das so richtig?
Nein, erst aus [mm]\bruch{d}{dt}(v+w)=0[/mm]
folgt doch w+v=const.
>
> Im Endeffekt wird das ganze System durch:
>
> [mm]u(t) = 20 \cdot{} e^{0t} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} -10 \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = 20 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} -10 \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}[/mm]
>
> beschrieben.
>
> Irgendwie verstehe ich das ganze noch nicht so ganz, also
> wie ich die Auswertung anpassen muss, dass da v(t) und w(t)
> steht. Der erste Teil der Lösung (Eigenvektor [mm]\lambda_1)[/mm]
> steht doch für w(t) und der zweite Teil (Eigenvektor
> [mm]\lambda_2)[/mm] für v(t).
Nein, beide Lösungen sind für [mm] \vektor{v(t) \\ w(t)}
[/mm]
du hast also nicht:
$ u(t) = 20 [mm] \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] -10 [mm] \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] $
sondern
[mm] \vektor{v(t)\\ w(t)}=20 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} [/mm] -10 [mm] \cdot{} e^{2t} \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}
[/mm]
d.h. für v(t) gilt die obere, für w(t) die untere Komponente.
also [mm] v(t)=20+10*e^{2t} [/mm] w(t) entsprechend.
Sieh nochmal nach, ob das nicht [mm] e^{-2t} [/mm] sein sollte, so kommt es mir eigenarig vor.
(einfach überprüfen, indem du in die Dgl einsetzt, ich hab dazu grade keine Zeit und Lust.)
Ich hab nicht jeden Schritt deiner Rechnung überprüft.
Gruss leduart
> Die Systemmatrix habe ich ja so umgeformt, das an erster
> Stelle das w steht:
ich seh hier v als erste Komponente?
> [mm]\begin{bmatrix} \bruch{dv}{dt} \\ \bruch{dw}{dt} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\ v \end{bmatrix}[/mm]
Das scheint richtig
> Wie müsste ich denn die Auswertung anpassen?
siehe oben
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 16.12.2009 | | Autor: | itse |
Hallo leduart,
zur a,
Zeige: w+v konstant
$ [mm] \bruch{d}{dt}(v+w) [/mm] = [mm] \bruch{d}{dt}v+ \bruch{d}{dt} [/mm] w = w -> v + v - w = 0 $
-> w+v konstant
Ich habe es überprüft und für die Matrix:
[mm] \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}
[/mm]
sind die Eigenwerte 0 und 2, dies sind dann die Exponenten bei der e-Funktion.
v(t) = 20 + 10 [mm] e^{2t}; [/mm] v'(t) = 20 [mm] e^{2t}
[/mm]
w(t) = 20 - 10 [mm] e^{2t}; [/mm] w'(t) = - 20 [mm] e^{2t}
[/mm]
Ich habe es dann noch eigensetzt:
[mm] \bruch{d}{dt}v [/mm] = w - v = 20 - 10 [mm] e^{2t} [/mm] - (20 + 10 [mm] e^{2t}) [/mm] = - 20 [mm] e^{2t}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dt} [/mm] w = v - w = 20 + 10 [mm] e^{2t} [/mm] - (20 - 10 [mm] e^{2t}) [/mm] = 20 [mm] e^{2t}
[/mm]
Dann passen die Vorzeichen nicht. Aber wo liegt dann der Fehler?
Grüße
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Mi 16.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast nen Fehler in der Matrix:
[mm] \vektor{v' \\ w'}=\pmat{ -1 & 1 \\ 1 & -1 }*\vektor{v \\ w}
[/mm]
Multiplizier aus, dann siehst du, dass das richtig ist.
damit hast du die Eigenwerte 0 und -2
Gruss leduart
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