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| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y'(x)=2e^{-y}(X+1), [/mm] Y(0)=1
mit der Methode der Trennung der Veränderlichen.
Geben Sie die Lösung in expliziter Form an. |
Hi,
ich hab mal versucht die Aufgabe zu lösen und weiß nun nicht, ob das so richtig ist:
zuerst alles mit y nach links:
[mm] \bruch{Y'(x)}{2e^{-y}}=x+1
[/mm]
anschließend den negativen exponenten auflösen
[mm] =\bruch{y'(x) e^{y}}{2}=x+1
[/mm]
dy/dx draus machen
[mm] \bruch{dy e^{y}}{dx 2}=x+1
[/mm]
dx rübermultiplizieren
[mm] \bruch{e^{y} dy}{2}=x+1 [/mm] dx
integral davor und integrieren:
0.5 [mm] e^{y}+c2=0.5 [/mm] x² +x +c1
für x 0 eingesetzt und für y 1:
0.5 e =C
und jetzt? irgendwas falsch?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 So 01.07.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem:
> [mm]y'(x)=2e^{-y}(X+1),[/mm] Y(0)=1
> mit der Methode der Trennung der Veränderlichen.
> Geben Sie die Lösung in expliziter Form an.
> Hi,
> ich hab mal versucht die Aufgabe zu lösen und weiß nun
> nicht, ob das so richtig ist:
> zuerst alles mit y nach links:
> [mm]\bruch{Y'(x)}{2e^{-y}}=x+1[/mm]
> anschließend den negativen exponenten auflösen
> [mm]=\bruch{y'(x) e^{y}}{2}=x+1[/mm]
> dy/dx draus machen
> [mm]\bruch{dy e^{y}}{dx 2}=x+1[/mm]
> dx rübermultiplizieren
> [mm]\bruch{e^{y} dy}{2}=x+1[/mm] dx
Klammer nicht vergessen:
[mm] $\frac{e^{y}}{2}\mathrm{d}y=(x+1)\mathrm{d}x$
[/mm]
> integral davor und integrieren:
> 0.5 [mm]e^{y}+c2=0.5[/mm] x² +x +c1
Die Integrationskonstante kannst Du zu [mm] $c_0=c_1-c_2$ [/mm] zusammenfassen.
> für x 0 eingesetzt und für y 1:
> 0.5 e =C
>
> und jetzt? irgendwas falsch?
Du führst zwei Integrationskonstanten ein und bestimmst dann eine dritte, die Du nicht definiert hast? Das macht keinen Sinn.
> Grüße
Die Lösung ist noch in expliziter Form anzugeben.
Gruß,
notinX
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das mit den konstanten versteh ich noch nciht so richtig.
wenn ich bsp auf der linken seite, wo ursprünglich das y' war, c1 schreibe und auf der anderen seite c2. dann ist c0=c1-c2, oder?
wo schreib ich das dann hin? und wie geb ich das in expliziter form an?
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 01.07.2012 | | Autor: | notinX |
> das mit den konstanten versteh ich noch nciht so richtig.
> wenn ich bsp auf der linken seite, wo ursprünglich das y'
> war, c1 schreibe und auf der anderen seite c2. dann ist
> c0=c1-c2, oder?
Das kommt darauf an, wo [mm] $c_0$ [/mm] steht.
> wo schreib ich das dann hin? und wie geb ich das in
Am einfachsten ist es, wenn Du erst gar nicht zwei Konstanten einführst:
[mm] $\int\frac{e^{y}}{2}\mathrm{d}y=\int(x+1)\mathrm{d}x\Rightarrow\frac{e^{y}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+x+c$
[/mm]
> expliziter form an?
Explizite Form heißt, gib die Lösung in der Form:
[mm] $f(x)=\ldots$ [/mm]
bzw.
[mm] $y(x)=\ldots$
[/mm]
an.
> Grüße
Gruß,
notinX
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