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| Aufgabe 1 | | Es ist die Bogenlänge von [mm] y=ln(x) [/mm] von [mm] x_1= \sqrt{3} [/mm] bis [mm] x_2=\sqrt{8} [/mm] gesucht. |
| Aufgabe 2 | | Es ist das Volumen des Rotationskörpers von [mm] y=\frac{x}{x^2+1} [/mm] in [0;3] zu berechnen. |
Hallo!
Meine Ergebnisse stimmen einfach nicht mit jenen des Buchs überein....und ich finde die Fehler nicht! Könnte mir bitte jemand zur Hand gehen?
1.[mm]\integral{\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}dx}[/mm]
Mit [mm]\frac{1}{x}=sinh(u)[/mm]:
[mm]\integral{1-tanh^2(u)du}-\integral{du}[/mm]
Resubst.
[mm]tanh(arsinh(\frac{1}{x}))-arsinh(\frac{1}{x})+C[/mm]
Wenn ich die Integraltionsgrenzen einsetze erhalte ich 0,036 was nicht stimmt!
2.
[mm]\pi\integral{\frac{x^2}{x^4+2x^2+1}dx}=\pi(\integral{\frac{-2}{(x+1)^2}dx+\integral{\frac{1}{x+1}dx}[/mm]
Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf [mm]\frac{2}{x+1}+ln|x+1|+C [/mm]und wenn ich einsetze auf ein negatives Volumen [mm] -0,11\pi [/mm] was ebenfalls nicht stimmt.
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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> Es ist die Bogenlänge von [mm]y=ln(x)[/mm] von [mm]x_1= \sqrt{3}[/mm] bis
> [mm]x_2=\sqrt{8}[/mm] gesucht.
> Es ist das Volumen des Rotationskörpers von
> [mm]y=\frac{x}{x^2+1}[/mm] in [0;3] zu berechnen.
> Hallo!
>
> Meine Ergebnisse stimmen einfach nicht mit jenen des Buchs
> überein....und ich finde die Fehler nicht! Könnte mir bitte
> jemand zur Hand gehen?
>
> 1.[mm]\integral{\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}dx}[/mm]
>
> Mit [mm]\frac{1}{x}=sinh(u)[/mm]:
>
> [mm]\integral{1-tanh^2(u)du}-\integral{du}[/mm]
>
> Resubst.
>
> [mm]tanh(arsinh(\frac{1}{x}))-arsinh(\frac{1}{x})+C[/mm]
>
> Wenn ich die Integraltionsgrenzen einsetze erhalte ich
> 0,036 was nicht stimmt!
Es ist
[mm] \integral_{}^{}{\sqrt{1+\bruch{1}{x^2}} dx}
[/mm]
mit sinh(u) = x [mm] \gdw [/mm] u = arcsinh(x) und damit du/dx = [mm] \bruch{1}{\sqrt{1+x^2}} \gdw \sqrt{1+x^{2}}*du [/mm] = cosh(u) du = dx
Somit ergibt sich
[mm] \integral_{}^{}{\sqrt{1+\bruch{1}{x^2}} dx} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\tanh(u)*\cosh(u) du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\sinh(u) du} [/mm] = cosh(u).
Rücksubstitution liefert
cosh(arcsinh(x)) = [mm] \sqrt{x^2+1}...
[/mm]
Stimmt das denn? Was ist denn das Ergebnis der Musterlösung?
> 2.
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> [mm]\pi\integral{\frac{x^2}{x^4+2x^2+1}dx}=\pi(\integral{\frac{-2}{(x+1)^2}dx+\integral{\frac{1}{x+1}dx}[/mm]
>
>
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> Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf
> [mm]\frac{2}{x+1}+ln|x+1|+C [/mm]und wenn ich einsetze auf ein
> negatives Volumen [mm]-0,11\pi[/mm] was ebenfalls nicht stimmt.
Bei der zweiten Aufgabe ist deine Partialbruchzerlegung falsch. Ich bin mir nicht sicher, ob die hier überhaupt im herkömmlichen Sinne möglich ist.
Du musste einen der "Erweiterungstricks" anwenden:
[mm] \bruch{x^2}{(1+x^2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{2x^2}{(1+x^2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{x^2+1}{(1+x^2)^2} - \bruch{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}\right)...
[/mm]
Der rechte Term ist Ergebnis der Anwendung einer Quotientenregel für Ableitungen. Was aber im Zähler des Bruches stand, überlasse ich dir... (Tipp: [mm] -x^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2x^2).
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan.
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Hallo!Danke für deine Hilfe!
> > Es ist die Bogenlänge von [mm]y=ln(x)[/mm] von [mm]x_1= \sqrt{3}[/mm] bis
> > [mm]x_2=\sqrt{8}[/mm] gesucht.
> > Es ist das Volumen des Rotationskörpers von
> > [mm]y=\frac{x}{x^2+1}[/mm] in [0;3] zu berechnen.
> > Hallo!
> >
> > Meine Ergebnisse stimmen einfach nicht mit jenen des Buchs
> > überein....und ich finde die Fehler nicht! Könnte mir bitte
> > jemand zur Hand gehen?
> >
> > 1.[mm]\integral{\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}dx}[/mm]
> >
> > Mit [mm]\frac{1}{x}=sinh(u)[/mm]:
> >
> > [mm]\integral{1-tanh^2(u)du}-\integral{du}[/mm]
> >
> > Resubst.
> >
> > [mm]tanh(arsinh(\frac{1}{x}))-arsinh(\frac{1}{x})+C[/mm]
> >
> > Wenn ich die Integraltionsgrenzen einsetze erhalte ich
> > 0,036 was nicht stimmt!
>
> Es ist
>
> [mm]\integral_{}^{}{\sqrt{1+\bruch{1}{x^2}} dx}[/mm]
>
> mit sinh(u) = x [mm]\gdw[/mm] u = arcsinh(x) und damit du
> [mm]\bruch{1}{\sqrt{1+x^2}} \gdw \sqrt{1+x^{2}}*du[/mm] = cosh(u) du
> = dx
>
> Somit ergibt sich
>
> [mm]\integral_{}^{}{\sqrt{1+\bruch{1}{x^2}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\tanh(u)*\cosh(u) du}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\sinh(u) du}[/mm] = cosh(u).
>
> Rücksubstitution liefert
>
> cosh(arcsinh(x)) = [mm]\sqrt{x^2+1}...[/mm]
>
> Stimmt das denn? Was ist denn das Ergebnis der
> Musterlösung?
>
Ich komme damit nicht auf das richtige Ergebnis 1+0,5ln(3/2)....
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> > 2.
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> >
> [mm]\pi\integral{\frac{x^2}{x^4+2x^2+1}dx}=\pi(\integral{\frac{-2}{(x+1)^2}dx+\integral{\frac{1}{x+1}dx}[/mm]
> >
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> > Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf
> > [mm]\frac{2}{x+1}+ln|x+1|+C [/mm]und wenn ich einsetze auf ein
> > negatives Volumen [mm]-0,11\pi[/mm] was ebenfalls nicht stimmt.
>
> Bei der zweiten Aufgabe ist deine Partialbruchzerlegung
> falsch. Ich bin mir nicht sicher, ob die hier überhaupt im
> herkömmlichen Sinne möglich ist.
> Du musste einen der "Erweiterungstricks" anwenden:
>
> [mm]\bruch{x^2}{(1+x^2)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{2x^2}{(1+x^2)^2}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}*\left(\bruch{x^2+1}{(1+x^2)^2} - \bruch{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}\right)...[/mm]
>
> Der rechte Term ist Ergebnis der Anwendung einer
> Quotientenregel für Ableitungen. Was aber im Zähler des
> Bruches stand, überlasse ich dir... (Tipp: [mm]-x^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] -
> [mm]2x^2).[/mm]
Danke für die Idee, ich komme so auf die richtige Lösung! Gibt es den keine Lösung ohne dieses Ratespiel?Warum geht hier die Partialbruchzerlegung nicht?
Gruß
Angelika
>
> Viele Grüße,
> Stefan.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Mi 11.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
Somit ergibt sich
> > [mm] \integral_{}^{}{\sqrt{1+\bruch{1}{x^2}} dx} = \integral_{}^{}{\tanh(u)*\cosh(u) du} = \integral_{}^{} [/mm]
Da hat sich Stefan vertan: es ist
[mm] \integral_{}^{}{\sqrt{1+\bruch{1}{x^2}} dx} = \integral_{}^{}\bruch{\cosh^2 u}{\sinh u} du} [/mm]
Mit [mm] $z=e^u$ [/mm] und der Darstellung der Hyperbelfunktionen
[mm] \sinh u = \bruch{1}{2} (e^{+u} - e^{-u}) [/mm]
[mm] \cosh u = \bruch{1}{2} (e^{+u} + e^{-u}) [/mm]
kommst du auf ein Integral über eine rationale Funktion.
(Beide Schritte zusammengefasst hast du die Substitution [mm] $z=x+\sqrt{1+x^2}$.)
[/mm]
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> > > 2.
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> [mm]\pi\integral{\frac{x^2}{x^4+2x^2+1}dx}=\pi(\integral{\frac{-2}{(x+1)^2}dx+\integral{\frac{1}{x+1}dx}[/mm]
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> > > Mit Partialbruchzerlegung komme ich auf
> > > [mm]\frac{2}{x+1}+ln|x+1|+C [/mm]und wenn ich einsetze auf ein
> > > negatives Volumen [mm]-0,11\pi[/mm] was ebenfalls nicht stimmt.
> >
> > Bei der zweiten Aufgabe ist deine Partialbruchzerlegung
> > falsch. Ich bin mir nicht sicher, ob die hier überhaupt im
> > herkömmlichen Sinne möglich ist.
> > Du musste einen der "Erweiterungstricks" anwenden:
> >
> > [mm]\bruch{x^2}{(1+x^2)^2}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{2x^2}{(1+x^2)^2}[/mm] =
> > [mm]\bruch{1}{2}*\left(\bruch{x^2+1}{(1+x^2)^2} - \bruch{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}\right)...[/mm]
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> >
> > Der rechte Term ist Ergebnis der Anwendung einer
> > Quotientenregel für Ableitungen. Was aber im Zähler des
> > Bruches stand, überlasse ich dir... (Tipp: [mm]-x^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] -
> > [mm]2x^2).[/mm]
>
> Danke für die Idee, ich komme so auf die richtige Lösung!
> Gibt es den keine Lösung ohne dieses Ratespiel?Warum geht
> hier die Partialbruchzerlegung nicht?
Du hast die Zerlegung nicht richtig: da der Nenner [mm] $(1+x^2)^2$ [/mm] ist, musst du so zerlegen;
[mm] \bruch{Ax+B}{1+x^2} + {\bruch{Cx+D}{(1+x^2)^2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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Hallo und Danke für deinen Tipp!
Ich stoße bei einer Partialbruchzerlegung jedoch auf folgendes Problem:
[mm]x^2=(Ax+B)(1+x^2)+Cx+D=Ax^3+Bx^2+x(A+C)+B+D[/mm]
A=0
B=1
D=-1
C=0
D.h ich komme auf ein anderes Ergebnis als jenes von Stefan!
Könnte mir außerdem bitte jemand sagen, was bei meiner 1. Aufgabe( ganz oben) eigentlich falsch war. Eine neue Methode ist ganz interessant ich würde aber auch gerne wissen was ich falsch gemacht habe.
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Mi 11.03.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> Ich stoße bei einer Partialbruchzerlegung jedoch auf
> folgendes Problem:
>
>
> [mm]x^2=(Ax+B)(1+x^2)+Cx+D=Ax^3+Bx^2+x(A+C)+B+D[/mm]
>
> A=0
> B=1
> D=-1
> C=0
>
> D.h ich komme auf ein anderes Ergebnis als jenes von
> Stefan!
Nein, deine Partialbruchzerlegung ist richtig. Es ist nur eine Frage des richtigen Weges. Integrieren ist - im Gegensatz zum Differenzieren - eine Kunst 
Die Partialbruchzerlegung hilft nur begrenzt, weil du nun
[mm] \integral \bruch{x^2}{(1+x^2)^2} dx = \integral \bruch{1}{(1+x^2)} dx-\integral \bruch{1}{(1+x^2)^2} dx = \arctan x - \integral \bruch{1}{(1+x^2)^2} dx [/mm]
bekommst, was auch nicht viel schöner ist.
Ich würde folgenden Weg wählen: Zerlege den Integranden: [mm] $\bruch{x^2}{(1+x^2)^2} =\bruch{x}{(1+x^2)^2} [/mm] * x$ und integriere partiell. Der Grund dafür ist einfach, dass Integrale leicht zu lösen sind, wenn der Zähler eine Ableitung des Nenners oder ähnlich ist:
[mm] \integral \bruch{f'(x)}{f(x)^{n+1}} dx = -\bruch{1}{n} \bruch{1}{f(x)^{n}} [/mm]
Daher ist $ [mm] \integral\bruch{x}{(1+x^2)^2} [/mm] dx = [mm] -\bruch{1}{2} \bruch{1}{(1+x^2)} [/mm] $ und damit:
[mm] \integral\bruch{x}{(1+x^2)^2} * x dx = -\bruch{1}{2} \bruch{x}{(1+x^2)} + \bruch{1}{2} \integral \bruch{1}{(1+x^2)} dx = -\bruch{1}{2} \bruch{x}{(1+x^2)}+ \bruch{1}{2} \arctan x [/mm]
> Könnte mir außerdem bitte jemand sagen, was bei meiner 1.
> Aufgabe( ganz oben) eigentlich falsch war. Eine neue
> Methode ist ganz interessant ich würde aber auch gerne
> wissen was ich falsch gemacht habe.
Der Substitutionsansatz war OK, aber du hast falsch eingesetzt:
[mm] \integral{\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}dx} [/mm]
[mm] \bruch{1}{x} = \sinh u \implies x = \bruch{1}{\sinh u} [/mm]
[mm] \implies \bruch{dx}{du} = - \bruch{1}{\sinh^2 u} * \cosh u [/mm]
[mm] \implies dx = - \bruch{\cosh u}{\sinh^2 u} du [/mm]
Also ist dein Integral:
[mm] - \integral \sqrt{1+\sinh^2 u} * \bruch{\cosh u}{\sinh^2 u} du = - \integral \coth^2 u du [/mm]
[mm] = \integral (1- \coth^2 u) du - \integral du = \coth u - u[/mm]
[mm] = \coth \mathop{\mathrm{arsinh}} \bruch{1}{x} - \arsinh \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] = \bruch{\cosh\mathop{\mathrm{Arsinh}} \bruch{1}{x}}{\sinh\mathop{\mathrm{Arsinh}} \bruch{1}{x}}- \mathop{\mathrm{Arsinh}} \bruch{1}{x} [/mm]
[mm] = x \sqrt{1+(\frac{1}{x})^2} - \mathop{\mathrm{Arsinh}} \bruch{1}{x} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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