Ankreise und der Feuerbachkrei < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien ABC ein Dreieck und [mm] w_{A},w_{B},w_{C} [/mm] die Mittelpunkte der drei Ankreise. Zeigen Sie:
a) a, b und c sind die Höhenfußpunkte im Dreieck [mm] w_{A},w_{B},w_{C}.
[/mm]
b) Der Umkreis von abc ist der Feuerbachkreis des Dreiecks [mm] w_{A},w_{B},w_{C}. [/mm] |
Hallo, ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum gestellt.
Für Teil a) fehlt mir leider jeglicher Ansatz.
Wenn man bei b) zeigen könnte, dass ABC das Mittendreieck von [mm] w_{A},w_{B},w_{C}, [/mm] wäre man fertig, dass muss ja aber nicht unbedingt der Fall sein, abc ist beliebig.
Wie muss ich an die Aufgabe "rangehen" ?
Vielen Dank
Grüße
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Das ist nur eine Umdeutung der entsprechenden Ortslinien.
Beachte, daß ein Ankreismittelpunkt auf einer Innenwinkelhalbierenden und zwei Außenwinkelhalbierenden des Dreiecks liegt. So ist er ja gerade definiert. So liegt etwa [mm]W_A[/mm] auf der Winkelhalbierenden von [mm]\alpha[/mm] und den Winkelhalbierenden von [mm]\beta^{\*}[/mm] und [mm]\gamma^{\*}[/mm] (das sind die Nebenwinkel von [mm]\beta[/mm] bzw. [mm]\gamma[/mm]). Und verwende dann die elementare Tatsache, daß die Winkelhalbierenden eines Winkels und seines Nebenwinkels unter einem rechten Winkel aufeinander stehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Danke damit war es angenehm, die Aufgabe a) zu lösen. Sieht das in Deinem Dreieck nur so aus, oder teilt jede Ecke A,B,C die Dreieckseiten vom Dreieck [mm] w_{a}w_{b}w_{c} [/mm] genau in der Mitte ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 So 13.05.2012 | | Autor: | abakus |
> Danke damit war es angenehm, die Aufgabe a) zu lösen.
> Sieht das in Deinem Dreieck nur so aus, oder teilt jede
> Ecke A,B,C die Dreieckseiten vom Dreieck [mm]w_{a}w_{b}w_{c}[/mm]
> genau in der Mitte ?
Hallo,
die Frage kannst du dir selbst beantworten. Das würde ja bedeuten, dass in JEDEM Dreieck die Höhenfußpunkte auf den Seitenmitten liegen müssten...
Gruß Abakus
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Aufgabenteil b) mit dem Feuerbachkreis habe ich aber immer noch nicht verstanden, wie es gehen soll.
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Es ist die Frage, was du über den Feuerbachkreis (Neunpunktekreis) alles schon weißt. Wenn du z.B. weißt, daß die Höhenfußpunkte eines Dreiecks auf ihm liegen, ist nach a) alles gegessen.
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Hallo nochmal,
ja, das ist bekannt, zudem ist auch noch z.B. gegeben , dass die Seitenmitten auf dem Feuerbachkreis liegen und dass der Feuerbachkreise alle 3 Ankreise berührt.
Zu b) kann ich dann rein argumentativ sagen, dass der Umkreis vom Dreieck ABC die Höhenfußpunkte des Dreiecks [mm] w_{A},w_{B},w_{C} [/mm] enthält und da ein Kreis durch drei Punkte eindeutig festgelegt ist, muss es der Feuerbachkreis zu unserem Dreieck [mm] w_{A},w_{B},w_{C} [/mm] sein.
Vielen Dank und Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 16.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:41 So 13.05.2012 | | Autor: | imagemixer |
Natürlich nicht.
edit:
Unsere Antworten haben sich überschnitten. Das ist jetzt klar 
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