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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 22.04.2006 | | Autor: | AriR |
| Aufgabe | Sei [mm] f:V\to [/mm] W eine lineare Abbildung und [mm] f\*:W\*\to V\* [/mm] mit [mm] f\*(\phi):=\phi \circ [/mm] f die duale Abbildung
a) Beweisen sie: [mm] Kern(f\*)=Ann(Bild(f)) [/mm] |
(Frage zuvor nicht gestellt) (Dieser Stern soll der Stern soll immer der Stern vom dualraum sein)
Hey Leute, ich hänge gerade an dieser Aufgabe fest. Wäre nett wenn mir einer helfen könnte: Ich habe bis jetzt folgendes gemacht, glaub aber kaum, dass es richtig ist:
[mm] Ann(Bild(f))=\{\phi\in Bild(f)\*|\phi (v)=0 \forall v\in V\}
[/mm]
[mm] Kern(f\*)=\{\mu\in W\*|f\*(\mu)=0\}
[/mm]
ich hab mir dann gedacht, dass man zeigen muss, dass [mm] \phi=\mu [/mm] ist und dafür muss [mm] \phi(v) [/mm] = [mm] f\*(\mu) [/mm] sein. weiter gilt:
[mm] \phi(v) [/mm] = [mm] \mu\circ [/mm] f
[mm] \phi(v) =\mu [/mm] (f(v))
jetzt ist dann noch zu zeigen, dass v=f(v) also müsste ich zeigen, dass f die identität ist.
Falls alle diese Schritte richtig sein sollten und ich tatsächlich nur noch zu zeige haben, dass f die identität ist, wie mache ich das? Wäre nett, wenn mir da einer einen Tip geben könnte. Gruß Ari =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]Ann(Bild(f))=\{\phi\in Bild(f)\*|\phi (v)=0 \forall v\in V\}[/mm]
Das ist falsch - die Phis sind aus dem Dualraum, sie annuleiren nicht V, sondern blos Bild(f) ... [m]Ann(Bild(f))=\{\phi\in V^\*|\phi(v)=0\forall v\in Bild(f)\}[/m]
> [mm]Kern(f\*)=\{\mu\in W\*|f\*(\mu)=0\}[/mm]
Das stimmt sogar - wobei halt die 0 in [m]V^\*[/m] gemeint ist.
> ich hab mir dann gedacht, dass man zeigen muss, dass
> [mm]\phi=\mu[/mm] ist und dafür muss [mm]\phi(v)[/mm] = [mm]f\*(\mu)[/mm] sein. weiter
Häh? Was? Wieso?
> jetzt ist dann noch zu zeigen, dass v=f(v) also müsste ich
> zeigen, dass f die identität ist.
Das ist absoluter Blödsinn.
Verusch doch mal mit den richtigen Definitionen wieder einen beweisweg zu finden. Wenn etwas das Bild von f annuliert, dann muss doch nach Definition von [m]f^\*[/m] doch irgendwie diese Abbildung im Kern liegen andersrum doch auch - oder?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 22.04.2006 | | Autor: | AriR |
ok ich habes es jetzt mal so probiert:
[mm] Kern(f\*)=\{\phi\in W\*|\phi(f(v))=0 \forall v\in V\}
[/mm]
[mm] Ann(Bild(f))=\{\phi\in Bild(f)\*| \phi(f(v)=0 \forall v\inV\}
[/mm]
Da [mm] Bild(f)\* [/mm] eine Teilmenge von [mm] W\* [/mm] ist und alle [mm] \phi [/mm] aus den Mengen die selbe Bedingung erfüllen müssen folgt, die Behauptung.
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Sa 22.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> [mm]Ann(Bild(f))=\{\phi\in Bild(f)\*| \phi(f(v)=0 \forall v\inV\}[/mm]
Aha, warum soll das gelten? (jedenfalls nicht die Definition und so eher sehr falsch)
> Da [mm]Bild(f)\*[/mm] eine Teilmenge von [mm]W\*[/mm] ist und alle [mm]\phi[/mm] aus
> den Mengen die selbe Bedingung erfüllen müssen folgt, die
> Behauptung.
>
> ist das so richtig?
Nein.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Sa 22.04.2006 | | Autor: | AriR |
könntest du dein "nein" vielleicht etwas begründen? so kann ich leider nicht viel mit anfangen und zu dem Annulator haben wir folgende definition:
Sei V ein K-VR und sei [mm] U\cap [/mm] V
[mm] Ann(U):=\{\phi\in V*\ \phi(v) = 0 für alle v\in V}
[/mm]
gruß ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Sa 22.04.2006 | | Autor: | SEcki |
> könntest du dein "nein" vielleicht etwas begründen?
Weil eine deiner Gleichungen oben einfach nicht stimmt - aber das stand ja drüber.
> so kann
> ich leider nicht viel mit anfangen und zu dem Annulator
> haben wir folgende definition:
Nein, hattet ihr nicht - das hoffe ich jedenfalls von Herzen! 
> Sei V ein K-VR und sei [mm]U\cap[/mm] V
> [mm]Ann(U):=\{\phi\in V*\ \phi(v) = 0 für alle v\in V}[/mm]
Das letzte V ist ein U - sonst macht das gar keinen Sinn.
SEcki
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