Ansatz Resonanz DGL Störterm < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es heißt ja:
Ist der Summand des Ansatzes der part.Lösung glzt. ein Bestandteil der Lösung der hom. Lsg., so liegt Resonanz vor und der Ansatz muss modifiziert werden, dass (nur) der betroffene Teil des Ansatzes mit x multipliziert wird.
...Wo anders heitß es:
zu Störterm [mm] a_{m}x^{m}+ a_{m-1}x^{m-1}+...+ a_{1}x+ a_{0} [/mm] ist ein Ansatz gemäß [mm] x^{s} *(A)_{m}x^{m}+A_{m-1}x^{m-1}+...+A_{1}x+A_{0} [/mm] zu wählen. mit s=kleinster Grad der Ableitung (ich nehme an der DGL?)
ich habe aber keine DGL gegeben, nur ihre homogene Lösung:
[mm] C_{7}cos(2x)+C_{6}sin(2x)+(C_{4}+C_{5}x)e^{x}+ C_{3}x^{2}+...+ C_{2}x+ C_{1} [/mm]
Dazu soll nun der Ansatz für die partielle Lösung angeben werden für verschiedene b(x) (Störterme):
a) r(x)= (1+x)(1-x) (Lsg. [mm] a_{1}x^{3}+ a_{2}x^{4}+a_{3}x^{5}
[/mm]
b) [mm] r(x)=2xe^{2x}
[/mm]
c) r(x)=2 sin(2x)+3cos(3x) |
Mit ist nicht ganz klar, wie ich bei Resonanz vorgehe bzgl des Grads den x haben muss, mit dem ich den entsprechenden teil durchmultipliziere...
zu a) ausmultipliziert: [mm] 1-x^{2} [/mm] -->eigtl. Ansatzwäre [mm] x^{s}*[(-x^2)+A_{0})] [/mm] oder?
1.Frage: Da ich nicht den Grad der "kleinsten ABleitung" ablesen kann (keine DGL gegeben), wie komme ich auf "s"?
und dann, angenommen s=1 (keine ahnung, nur um mein zweite frage zu erkären):
Ansatz wäre(!) also [mm] x^{1}*[(-x^2)+A_{0} [/mm] ]= [mm] -x^{3}+A_{0}x?
[/mm]
Dann hätte ich eine Resonanz wegen [mm] x^{3}, [/mm] müsste also mit x multiplizieren (lt. der vorschrift).
2.Frage: Es wird doch dann nur(!) das [mm] x^{3} [/mm] mit x multipliziert, gell?
-->Ansatz wäre [mm] -x^{4}+A_{0}x?
[/mm]
wie kommt man auf die lösung, ich habe mehrere fehler in meinem "rechenweg", ich blick da nimmer durch :-(
danke für jede hilfe,
LZ
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Hallo Loewenzahn,
> Es heißt ja:
> Ist der Summand des Ansatzes der part.Lösung glzt. ein
> Bestandteil der Lösung der hom. Lsg., so liegt Resonanz
> vor und der Ansatz muss modifiziert werden, dass (nur) der
> betroffene Teil des Ansatzes mit x multipliziert wird.
> ...Wo anders heitß es:
> zu Störterm [mm]a_{m}x^{m}+ a_{m-1}x^{m-1}+...+ a_{1}x+ a_{0}[/mm]
> ist ein Ansatz gemäß [mm]x^{s} *(A)_{m}x^{m}+A_{m-1}x^{m-1}+...+A_{1}x+A_{0}[/mm]
> zu wählen. mit s=kleinster Grad der Ableitung (ich nehme
> an der DGL?)
> ich habe aber keine DGL gegeben, nur ihre homogene
> Lösung:
> [mm]C_{7}cos(2x)+C_{6}sin(2x)+(C_{4}+C_{5}x)e^{x}+ C_{3}x^{2}+...+ C_{2}x+ C_{1}[/mm]
>
> Dazu soll nun der Ansatz für die partielle Lösung angeben
> werden für verschiedene b(x) (Störterme):
> a) r(x)= (1+x)(1-x) (Lsg. [mm]a_{1}x^{3}+ a_{2}x^{4}+a_{3}x^{5}[/mm]
>
> b) [mm]r(x)=2xe^{2x}[/mm]
> c) r(x)=2 sin(2x)+3cos(3x)
> Mit ist nicht ganz klar, wie ich bei Resonanz vorgehe bzgl
> des Grads den x haben muss, mit dem ich den entsprechenden
> teil durchmultipliziere...
>
> zu a) ausmultipliziert: [mm]1-x^{2}[/mm] -->eigtl. Ansatzwäre
> [mm]x^{s}*[(-x^2)+A_{0})][/mm] oder?
> 1.Frage: Da ich nicht den Grad der "kleinsten ABleitung"
> ablesen kann (keine DGL gegeben), wie komme ich auf "s"?
"s" ist hier die Vielfachheit der Nullstelle 0 des
charakteristischen Polynoms der DGL, hier ist also s=3.
Das siehst Du auch an diesem Teil der Lösung: [mm]C_{3}*x^{2}+C_{2}*x+C_{1}[/mm]
Daher ist der "normale" Ansatz [mm]a_{1}+a_{2}*x+a{3}*x^{2}[/mm] mit [mm]x^{3}[/mm] zu multiplizieren.
>
> und dann, angenommen s=1 (keine ahnung, nur um mein zweite
> frage zu erkären):
> Ansatz wäre(!) also [mm]x^{1}*[(-x^2)+A_{0}[/mm] ]=
> [mm]-x^{3}+A_{0}x?[/mm]
> Dann hätte ich eine Resonanz wegen [mm]x^{3},[/mm] müsste also
> mit x multiplizieren (lt. der vorschrift).
> 2.Frage: Es wird doch dann nur(!) das [mm]x^{3}[/mm] mit x
> multipliziert, gell?
> -->Ansatz wäre [mm]-x^{4}+A_{0}x?[/mm]
>
> wie kommt man auf die lösung, ich habe mehrere fehler in
> meinem "rechenweg", ich blick da nimmer durch :-(
> danke für jede hilfe,
> LZ
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Hm, so ganz sehe ich noch nicht durch...Ich habe die Situation, dass ich ein Blatt in der Klausur verwenden möchte, aber iwie passt deine Erklärung nicht mit dem zusammen was auf dem Blatt notiert ist:
Ich habe dir jetzt mal aufgeschrieben, wie ich es anhand des Blattes gemacht hätte:
Ich habe jetzt mal vorab die Nullstellen bestimmt, weiß aber noch nicht, ob ich das gleich noch brauche...
hier:
3fache reelle NS bei 0
2fache reelle NS bei 1
1faches kompl.konj. NS-Paar bei 0+-2i.
Für die Findung des part. Ansatzes laut meinem Blatt:
Man geht also wie folgt vor:
Störterm [mm] 1-x^{2}, [/mm] dann laut Tabelle ab dem [mm] x^{n}-Term, [/mm] der dem größten Exponent in meinem Störterm entspricht abwärts alle [mm] x^{n}-Glieder [/mm] aus der rechten Spalte aufsummieren ergibt die Form des part.Ansatzes, hier: [mm] x^{r}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}).
[/mm]
Aber wie komme ich nun auf das "r" . In meinem Blatt steht "r" sei "Ordnung der kleinsten auftretenden Ableitung"...Ableitung von was denn?
Denn ich habe ja keine Ableitung gegeben, also muss ich dieses r iwo anders her finden...
Versteh mich nicht falsch, aber ich würde das Blatt gerne in der Prüfung verwenden, aber ich verstehe die Notation noch nicht os ganz
Das Blatt findest du im Anhang.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Also wenn ich dann den Wert von r festgestellt habe,
folgt also [mm] x^{r=?}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}) [/mm] (multipliziere ich also mit [mm] x^{?} [/mm] durch) und erhalte
[mm] a_{2}x^{2+?}+a_{1}x^{2+?}+a_{0}x^{1+?}.
[/mm]
Dann müsste ich also mit der Lösung vergleichen und die Resonanz entdecken...Aber vllt könntest du mir erstmal erklären, wie ich auf dieses "r" komme?
Denn wenn ich das habe, muss ich laut meinem Blatt ja bei Resonanz einfach nur den "entsprechenden Teil des Ansatzes" mit x multiplizieren. Das erscheint mir einfacher als deine Lösung, aber ich brauche ja vorher unbedingt dieses "r" :-( :-(
Daaanke aber schon mal für die Erklärung und entschuldige, dass ich das Blatt nicht sofort gepostet hab, aber mir ist nicht klar gewesen, dass ich deine Erklärung nicht verstehen werde :-( und daher auch nicht weiß, wie ich es mir für die Klausur aufschreiben soll....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Hm, so ganz sehe ich noch nicht durch...Ich habe die Situation, dass ich ein Blatt in der Klausur verwenden möchte, aber iwie passt deine Erklärung nicht mit dem zusammen was auf dem Blatt notiert ist:
Ich habe dir jetzt mal aufgeschrieben, wie ich es anhand des Blattes gemacht hätte:
Ich habe jetzt mal vorab die Nullstellen bestimmt, weiß aber noch nicht, ob ich das gleich noch brauche...
hier:
3fache reelle NS bei 0
2fache reelle NS bei 1
1faches kompl.konj. NS-Paar bei 0+-2i.
Für die Findung des part. Ansatzes laut meinem Blatt:
Man geht also wie folgt vor:
Störterm [mm] 1-x^{2}, [/mm] dann laut Tabelle ab dem [mm] x^{n}-Term, [/mm] der dem größten Exponent in meinem Störterm entspricht abwärts alle [mm] x^{n}-Glieder [/mm] aus der rechten Spalte aufsummieren ergibt die Form des part.Ansatzes, hier: [mm] x^{r}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}).
[/mm]
Aber wie komme ich nun auf das "r" . In meinem Blatt steht "r" sei "Ordnung der kleinsten auftretenden Ableitung"...Ableitung von was denn?
Denn ich habe ja keine Ableitung gegeben, also muss ich dieses r iwo anders her finden...
Versteh mich nicht falsch, aber ich würde das Blatt gerne in der Prüfung verwenden, aber ich verstehe die Notation noch nicht os ganz
Das Blatt findest du im Anhang. Ich habe es selber nochmal abgetippt, also hoffe, es war richtig, wenn ich es als "selbsterstellt" angegeben habe...
[Bild Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
Also wenn ich dann den Wert von r festgestellt habe,
folgt also [mm] x^{r=?}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}) [/mm] (multipliziere ich also mit [mm] x^{?} [/mm] durch) und erhalte
[mm] a_{2}x^{2+?}+a_{1}x^{2+?}+a_{0}x^{1+?}.
[/mm]
Dann müsste ich also mit der Lösung vergleichen und die Resonanz entdecken...Aber vllt könntest du mir erstmal erklären, wie ich auf dieses "r" komme?
Denn wenn ich das habe, muss ich laut meinem Blatt ja bei Resonanz einfach nur den "entsprechenden Teil des Ansatzes" mit x multiplizieren. Das erscheint mir einfacher als deine Lösung, aber ich brauche ja vorher unbedingt dieses "r" :-( :-(
Daaanke aber schon mal für die Erklärung und entschuldige, dass ich das Blatt nicht sofort gepostet hab, aber mir ist nicht klar gewesen, dass ich deine Erklärung nicht verstehen werde :-( und daher auch nicht weiß, wie ich es mir für die Klausur aufschreiben soll....
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Hm, so ganz sehe ich noch nicht durch...Ich habe die Situation, dass ich eine Hilfestellung [Dateianhang nicht öffentlich] in der Klausur verwenden möchte, aber iwie passt deine Erklärung nicht mit dem zusammen was auf dem Blatt notiert ist:
Ich habe dir jetzt mal aufgeschrieben, wie ich es anhand des Blattes gemacht hätte:
Ich habe jetzt mal vorab die Nullstellen bestimmt, weiß aber noch nicht, ob ich das gleich noch brauche...
hier:
3fache reelle NS bei 0
2fache reelle NS bei 1
1faches kompl.konj. NS-Paar bei 0+-2i.
Für die Findung des part. Ansatzes laut meinem Blatt:
Man geht also wie folgt vor:
Störterm [mm] 1-x^{2}, [/mm] dann laut Tabelle ab dem [mm] x^{n}-Term, [/mm] der dem größten Exponent in meinem Störterm entspricht abwärts alle [mm] x^{n}-Glieder [/mm] aus der rechten Spalte aufsummieren ergibt die Form des part.Ansatzes, hier: [mm] x^{r}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}).
[/mm]
Aber wie komme ich nun auf das "r" . In Ding steht "r" sei "Ordnung der kleinsten auftretenden Ableitung"...Ableitung von was denn?
Denn ich habe ja keine Ableitung gegeben, also muss ich dieses r iwo anders her finden...
Versteh mich nicht falsch, aber ich würde das gerne in der Prüfung verwenden, aber ich verstehe die Notation noch nicht os ganz
(Bezug zu der Hilfe: Es ist der Kasten+Text auf der ganz rechten, untersten Seite von dem ich rede)
Also wenn ich dann den Wert von r festgestellt habe,
folgt also [mm] x^{r=?}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}) [/mm] (multipliziere ich also mit [mm] x^{?} [/mm] durch) und erhalte
[mm] a_{2}x^{2+?}+a_{1}x^{2+?}+a_{0}x^{1+?}.
[/mm]
Dann müsste ich also mit der Lösung vergleichen und die Resonanz entdecken...Aber vllt könntest du mir erstmal erklären, wie ich auf dieses "r" komme?
Denn wenn ich das habe, muss ich laut meinem Blatt ja bei Resonanz einfach nur den "entsprechenden Teil des Ansatzes" mit x multiplizieren. Das erscheint mir einfacher als deine Lösung, aber ich brauche ja vorher unbedingt dieses "r" :-( :-(
Daaanke aber schon mal für die Erklärung und entschuldige, dass ich das Blatt nicht sofort gepostet hab, aber mir ist nicht klar gewesen, dass ich deine Erklärung nicht verstehen werde :-( und daher auch nicht weiß, wie ich es mir für die Klausur aufschreiben soll....
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:38 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
leider ist deine URL die du angibst geschuetzt, so dass man mit deiner URL leider nichts anfangen kann.
LG
Kroni
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Hallo Loewenzahn,
> Hm, so ganz sehe ich noch nicht durch...Ich habe die
> Situation, dass ich eine Hilfestellung [Dateianhang nicht öffentlich] in
> der Klausur verwenden möchte, aber iwie passt deine
> Erklärung nicht mit dem zusammen was auf dem Blatt notiert
> ist:
>
> Ich habe dir jetzt mal aufgeschrieben, wie ich es anhand
> des Blattes gemacht hätte:
> Ich habe jetzt mal vorab die Nullstellen bestimmt, weiß
> aber noch nicht, ob ich das gleich noch brauche...
> hier:
> 3fache reelle NS bei 0
> 2fache reelle NS bei 1
> 1faches kompl.konj. NS-Paar bei 0+-2i.
>
> Für die Findung des part. Ansatzes laut meinem Blatt:
> Man geht also wie folgt vor:
>
> Störterm [mm]1-x^{2},[/mm] dann laut Tabelle ab dem [mm]x^{n}-Term,[/mm] der
> dem größten Exponent in meinem Störterm entspricht
> abwärts alle [mm]x^{n}-Glieder[/mm] aus der rechten Spalte
> aufsummieren ergibt die Form des part.Ansatzes, hier:
> [mm]x^{r}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}).[/mm]
>
> Aber wie komme ich nun auf das "r" . In Ding steht "r" sei
> "Ordnung der kleinsten auftretenden Ableitung"...Ableitung
> von was denn?
Nun, das ist Ordnung der kleinsten Ableitung in der DGL,
deren Koeffizient von Null verschieden ist.
Dies korrespondiert mit der Vielfachheit der Nullstelle 0.
> Denn ich habe ja keine Ableitung gegeben, also muss ich
> dieses r iwo anders her finden...
>
> Versteh mich nicht falsch, aber ich würde das gerne in der
> Prüfung verwenden, aber ich verstehe die Notation noch
> nicht os ganz
> (Bezug zu der Hilfe: Es ist der Kasten+Text auf der ganz
> rechten, untersten Seite von dem ich rede)
> Also wenn ich dann den Wert von r festgestellt habe,
> folgt also [mm]x^{r=?}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})[/mm]
> (multipliziere ich also mit [mm]x^{?}[/mm] durch) und erhalte
> [mm] a_{2}x^{2+?}+a_{1}x^{2+?}+a_{0}x^{1+?}.[/mm]
>
> Dann müsste ich also mit der Lösung vergleichen und die
> Resonanz entdecken...Aber vllt könntest du mir erstmal
> erklären, wie ich auf dieses "r" komme?
> Denn wenn ich das habe, muss ich laut meinem Blatt ja bei
> Resonanz einfach nur den "entsprechenden Teil des Ansatzes"
> mit x multiplizieren. Das erscheint mir einfacher als deine
> Lösung, aber ich brauche ja vorher unbedingt dieses "r"
> :-( :-(
>
> Daaanke aber schon mal für die Erklärung und
> entschuldige, dass ich das Blatt nicht sofort gepostet hab,
> aber mir ist nicht klar gewesen, dass ich deine Erklärung
> nicht verstehen werde :-( und daher auch nicht weiß, wie
> ich es mir für die Klausur aufschreiben soll....
>
Gruss
MathePower
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Ich glaube nicht(!), dass deine Erklärung für mein "r" zutrifft....
> > In Ding steht "r" sei
> > "Ordnung der kleinsten auftretenden Ableitung"
Hm,...
> Nun, das ist Ordnung der kleinsten Ableitung in der DGL,
> deren Koeffizient von Null verschieden ist.
...da ich die ja nicht habe....
> Dies korrespondiert mit der Vielfachheit der Nullstelle 0.
...und ich davon ausgehe, das ich dann immer die höchste/größte Vielfachheit von allen Nullstellen nehme (?)...
...wäre das r=3...ABER es MUSS ein ANDERES "r" sein, weil...
> > Also wenn ich dann den Wert von r festgestellt habe,
> > folgt also [mm]x^{r=?}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})[/mm]
> > (multipliziere ich also mit [mm]x^{?}[/mm] durch) und erhalte
> > [mm] a_{2}x^{2+?}+a_{1}x^{1+?}+a_{0}.[/mm]
...wäre dann also [mm] a_{2}x^{2+3}+a_{1}x^{1+3}+a_{0}x^{3}.[/mm]
[/mm]
....Das ist aber erstmal mein Ansatz für die Part.Lsg. BEVOR ich die Resonanz miteinbezogen habe, weil ich laut BLATT-Reihenfolge das erst noch kommt:
> > mit der Lösung vergleichen und die
> > Resonanz entdecken..
> > Denn wenn ich das habe, muss ich laut meinem Blatt ja
...dann
> bei
> > Resonanz einfach nur den "entsprechenden Teil des Ansatzes"
> > "mit x multiplizieren".
Das ergäbe dann aber "jeweils eine Potenz ZUVIEL !!!!
Es MUSS also ein anderes "r" sein, das siehst du doch ein, oder???
> >
> > Daaanke aber schon mal für die Erklärung
Gilt trotzdem 
Gruß,
LZ
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:35 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Hallo, meine eigentliche Frage steht zwei Mitteilung vorher, ich wusste nur nicht, wie ich diese noch in eine Frage umwandeln hätte können...Sorry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mi 17.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in deiner homogenen lösung steht doch [mm] ax^2+bx+c
[/mm]
daran sieht man, dass in der homogenen Dgl y,y' und y'' nicht vorkommen konnten, sonst wäre diese lösung nicht möglich.
du kannst dein r also auch aus der homogenen lösung ablesen: eins grösser als die höchste vorkommende Potenz eines Lösungspolynoms das in der homogenen steht.
einfachstes Beispiel (das man natürlich auch direkt lösen kann):
y'''=(x-1)*(x+1)
Lösung der homogenen y'''=0 ist [mm] C_1x^2+C_2*x+C_3
[/mm]
wenn du hier mit nem Ansatz lösen willst muss das Ansatzpolynom wenigstens 5 ten Grades sein. also [mm] x^3*(ax^2+bx+c)
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo Loewenzahn,
> Ich glaube nicht(!), dass deine Erklärung für mein "r"
> zutrifft....
> > > In Ding steht "r" sei
> > > "Ordnung der kleinsten auftretenden Ableitung"
> Hm,...
> > Nun, das ist Ordnung der kleinsten Ableitung in der
> DGL,
> > deren Koeffizient von Null verschieden ist.
> ...da ich die ja nicht habe....
In einem meiner vorherigen Poste habe ich geschrieben,
daß die Vielfachheit der Nullstelle 0 an der
Lösung der homogenen DGL ablesbar ist.
> > Dies korrespondiert mit der Vielfachheit der Nullstelle
> 0.
> ...und ich davon ausgehe, das ich dann immer die
> höchste/größte Vielfachheit von allen Nullstellen nehme
> (?)...
> ...wäre das r=3...ABER es MUSS ein ANDERES "r" sein,
> weil...
> > > Also wenn ich dann den Wert von r festgestellt habe,
> > > folgt also [mm]x^{r=?}*(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0})[/mm]
> > > (multipliziere ich also mit [mm]x^{?}[/mm] durch) und erhalte
> > > [mm] a_{2}x^{2+?}+a_{1}x^{1+?}+a_{0}.[/mm]
> ...wäre dann also [mm]a_{2}x^{2+3}+a_{1}x^{1+3}+a_{0}x^{3}.[/mm][/mm]
> ....Das ist aber erstmal mein Ansatz für die Part.Lsg.
> BEVOR ich die Resonanz miteinbezogen habe, weil ich laut
> BLATT-Reihenfolge das erst noch kommt:
> > > mit der Lösung vergleichen und die
> > > Resonanz entdecken..
> > > Denn wenn ich das habe, muss ich laut meinem Blatt
> ja
> ...dann
> > bei
> > > Resonanz einfach nur den "entsprechenden Teil des Ansatzes"
> > > "mit x multiplizieren".
> Das ergäbe dann aber "jeweils eine Potenz ZUVIEL !!!!
> Es MUSS also ein anderes "r" sein, das siehst du doch ein,
> oder???
Dann muss die Ordnung der kleinsten Ableitung 2 sein.
Das heisst aber, dass die Ordnung r der kleinsten Ableitung der DGL
[mm]\summe_ {k=0}^{n}{a_{k}*y^{\left(k\right)}=b\left(x\right)[/mm]
diejenige ist, für die gilt:
[mm]a_{0}= \ ... \ =a_{r}=0, \ a_{r+1} \not=0[/mm]
Bestimmt steht irgendwo in Deinem Skript,
wie diese "Ordnung r der kleinsten Ableitung" definiert ist.
>
> > >
> > > Daaanke aber schon mal für die Erklärung
> Gilt trotzdem
>
> Gruß,
> LZ
Gruss
MathePower
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Hallo
es ist leider so, dass ich die Notation von einem alten Skript oder was weiß ich vorher übernommen habe...Wir selber haben nur 4Seiten Mitschrift und es wurde auch nie so schön definiert wie man vorgeht...Deswegen bin ich wsl auch nicht direkt drübergestolpert....Aber wenn du mir diese Eigenschaft vorschlägst, dann klingt das so, als könnte ich DIESE jetzt eben annehmen...
Darf ich nachhaken, denn iwie habe ich heute zuviel gemacht, ich kriege das nicht so ganz hin:
In Worten steht für mich da: Die kleinste Ableitung einer so beschriebenen DGL ist "von oben" (Ableitungsgrad der y absteigend) abgezählt, die erste, die den Vorfaktor Null hat (= die erste Ableitung, die es nicht gibt?-->r= immer "(letzter auftretende ableitungsgrad der y in der DGL) -1"??) das würde aber dann ja auch bedeuten, es darf niemals ein y in der DGL auftauchen, oder? weil dann wäre r=0 und dann wäre mein partikuläransatz ja mit Null zu multiplizieren??
ich glaub, du musst nochmal erklären...:-(...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Mi 17.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die kleinste noch auftretende Ableitung ist nicht die erste mit nem Faktor 0, sondern die kleinste die wirklich noch da steht.
wenn da also von ner hohen Ableitung an alle möglichen stehen, die letzte aber y''' ist dann ist dein r=3 wenn die letzte y selbst ist, dann ist dein r=0, dann wird aber dein Polynomansatz nicht mit 0 malgenommen, sondern mit [mm] x^0=1
[/mm]
Deine Frage war aber, wenn man die Dgl gar nicht kennt, sondern nur edie Lösung der homogenen. wie bei deiner Frage, wenn dann in deiner homogenen ein Polynom vom Grad n vorkommt (in deinem Beispiel vom Grad 2, dann ist dein r=n+2
(weil man dann weiss, dass die Dgl bei y''' aufgehört hatte und y'',y' und y nicht vorkamen!
(Nebenbei, so gräßliche Bsp. kommen in Klausuren nicht, die hören eigentlich immer mit Dgl 2 ten höchstens dritten grades, die man auf 2 ten Grades zurückführen kann auf)
Gruss leduart
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> wenn da also von ner hohen Ableitung an alle möglichen
> stehen, die letzte aber y''' ist dann ist dein r=3
wenn dann in deiner homogenen Lösung ein Polynom vom Grad n
> vorkommt (in deinem Beispiel vom Grad 2, dann ist dein
> r=n+2
--> r= 2+2=4 ?!?!
> (weil man dann weiss, dass die Dgl bei y''' aufgehört
> hatte
somit könnte ich doch auch rückwärts auf die ungef. Form der DGL schließen, und die wäre dann lt. dir:
> (weil man dann weiss, dass die Dgl bei y''' aufgehört
> hatte
> und y'',y' und y nicht vorkamen!
dergestalt, dass ja wirklich die 3.ableitung die "kleinste" ist...dann wäre aber laut dir
> die letzte aber y''' ist dann ist dein r=3
wieso komme ich bei betrachtung der homogenen lösung mittels r=2+n=2+2 auf r=4 und bei
"rückwärtsüberlegen (zumind. hab ich dich so verstanden---> dass die (meine hier) DGL nur bis y''' runterging) auf r=3 ???
ich dachte jetzt:
wenn ich die LÖSUNG (e.DGL) vorliegen habe, dann schaue ich dort den HÖCHSTEN Grad an (der x...),
wenn ich die DGL SELBST vorliegen habe, dann schaue ich den NIEDRIGSTEN Grad an (wobei y auch eine Ableitung im sinne von "null mal abgeleitet" ist).....
...und dieses "r" ist dann der exponent für meine x-Multiplikation...
Aber Falsch Gedacht, oder?
> (Nebenbei, so gräßliche Bsp. kommen in Klausuren nicht,
> die hören eigentlich
!
> immer mit Dgl 2 ten höchstens
> dritten grades, die man auf 2 ten Grades zurückführen
> kann auf)
Tjaaaa, leider habe ich hier das traurige Gegenteil vor mir liegen...scheint, als ob da jemand was gegen ein "langweiliges mainstream-klausuren-stellen" hat....oder jmd. möchte seinen ruf wahren....das ist echt nicht schön...ja, es ist eine sache, wenn man schwere klausuren stellt...aber es ist finde ich einfach nur hinterlistig, wenn übungsaufgaben und klausuraufgaben so weit auseinanderliegen...wenn dann deine note davon abhängt, wie gut deine connections zu höheren semestern sind...wettbewerbsverzerrung :-/...aber genau DESHALB will ich das unbedingt können...wenn der berg nicht zum propheten kommt....dann muss ich ihn holen :-D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mi 17.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi Löwenzahn,
> > wenn da also von ner hohen Ableitung an alle möglichen
> > stehen, die letzte aber y''' ist dann ist dein r=3
> wenn dann in deiner homogenen Lösung ein Polynom vom Grad
> n
> > vorkommt (in deinem Beispiel vom Grad 2, dann ist dein
> > r=n+2
> --> r= 2+2=4 ?!?!
mir scheint, du hättest das hier noch nicht gelesen: Mitteilung von Leduart
> > (weil man dann weiss, dass die Dgl bei y''' aufgehört
> > hatte
> somit könnte ich doch auch rückwärts auf die ungef.
> Form der DGL schließen, und die wäre dann lt. dir:
> > (weil man dann weiss, dass die Dgl bei y''' aufgehört
> > hatte
> > und y'',y' und y nicht vorkamen!
> dergestalt, dass ja wirklich die 3.ableitung die
> "kleinste" ist...dann wäre aber laut dir
> > die letzte aber y''' ist dann ist dein r=3
> wieso komme ich bei betrachtung der homogenen lösung
> mittels r=2+n=2+2 auf r=4 und bei
> "rückwärtsüberlegen (zumind. hab ich dich so
> verstanden---> dass die (meine hier) DGL nur bis y'''
> runterging) auf r=3 ???
> ich dachte jetzt:
> wenn ich die LÖSUNG (e.DGL) vorliegen habe, dann schaue
> ich dort den HÖCHSTEN Grad an (der x...),
> wenn ich die DGL SELBST vorliegen habe, dann schaue ich
> den NIEDRIGSTEN Grad an (wobei y auch eine Ableitung im
> sinne von "null mal abgeleitet" ist).....
> ...und dieses "r" ist dann der exponent für meine
> x-Multiplikation...
> Aber Falsch Gedacht, oder?
ja, falsch gedacht. Noch ein paar Beispiele
[mm] 3y^{(4)}+2y''=28 [/mm] <-- partikulärer Ansatz [mm] x^2*(Ax+B)
[/mm]
das [mm] x^2 [/mm] weil die Koeffizienten vor y' und y gleich [mm] \red{0} [/mm] sind [mm] (3y^{(4)}+2y''+\red{0}*y'+\red{0}*y=28)
[/mm]
[mm] y^{5}+y''+y'=3x+8 [/mm] <-- partikulärer Ansatz x*(Ax+B)
das x weil der Koeffizient vor y gleich [mm] \red{0} [/mm] ist
Lg
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Do 18.02.2010 | | Autor: | Loewenzahn |
Okay, also ich habe jetzt nochmal alle Hirnzellen zur Ordnung gerufen, und es scheint jetzt iwie zu funktionieren...Ich danke dir/euch, für eure Geduld!
Grüße,
LZ
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