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| Aufgabe | Ermitteln sie mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite eine partikuläre Lösung zum DGL-System
[mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }* \overrightarrow{x(t)} + \vektor{-20e^t * sin(2t) \\ 4t} = \overrightarrow{x(t)}'[/mm].
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Hallo,
ich bin etwas ratlos bei der weiteren Lösung obiger Aufgabe. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite, nach dem wir vorgehen sollen, lautet
[mm]\overrightarrow{x(t)} = p(t) * e^{\mu*t} * \overrightarrow{v}[/mm]
mit p(t) einem Polynom, [mm]\mu[/mm] komplex und v einem Vektor mit konstanten Komponenten.
Als erstes analysiere ich die Inhomogenität (rechte Seite) auf ihren Typ und zerlege sie entsprechend:
[mm]\overrightarrow{b(t)} = \vektor{-20e^t * sin(2t) \\ 4t} = t * \vektor{0 \\ 4} + sin(2t)e^t * \vektor{-20 \\ 0}[/mm]
Um jetzt den Sinus in den Griff zu kriegen, dachte ich, dass ich den zur komplexen e-Funktion ergänze, um nach der Rechnung dann wieder nur den Imaginärteil zu nehmen. Damit sähen die Werte jetzt also wie folgt aus:
[mm]p_1(t) = t, \mu_1 = 0, p_2(t) = 1, \mu_2 = 2i + 1[/mm]
Der Ansatz für die partikuläre Lösung, den ich dann in die DGL einsetzen will, ist also
[mm]\overrightarrow{x_p(t)} = t*\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_1} + e^t*sin(2t)*\overrightarrow{w_0}[/mm]
Da habe ich also von der komplexen e-Funktion bereits wieder nur die Anteile genommen, die ich am Anfang auch hatte. Hier frage ich mich schon, ob das überhaupt korrekt ist, was ich da gemacht habe. Beim Einsetzen in die DGL wirds jetzt nämlich haarig:
[mm]t*(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_2} + \vektor{0 \\ 4}) + \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 } * \overrightarrow{w_1} + e^t*sin(2t)*(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_0}) = \overrightarrow{w_2} + (e^t*sin(2t) + e^t*cos(2t))*\overrightarrow{w_0}[/mm]
Falls das richtig sein sollte (rechte Seite ist die Ableitung der partikulären Lösung, links nur eingesetzt), weiß ich nicht, wie es weitergeht. Ich würde jetzt Koeffizientenvergleich ansetzen, um die Vektoren w genauer zu bestimmen, aber es sind 3 Vektoren und ich kriege im besten Fall 2 Gleichungen, von dem cosinus-Term da ganz zu schweigen. Bitte, helft mir!
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Hallo micha_goes_ti,
> Ermitteln sie mit dem Ansatz vom Typ der rechten Seite eine
> partikuläre Lösung zum DGL-System
> [mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }* \overrightarrow{x(t)} + \vektor{-20e^t * sin(2t) \\ 4t} = \overrightarrow{x(t)}'[/mm].
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> Hallo,
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> ich bin etwas ratlos bei der weiteren Lösung obiger
> Aufgabe. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite, nach dem wir
> vorgehen sollen, lautet
>
> [mm]\overrightarrow{x(t)} = p(t) * e^{\mu*t} * \overrightarrow{v}[/mm]
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> mit p(t) einem Polynom, [mm]\mu[/mm] komplex und v einem Vektor mit
> konstanten Komponenten.
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> Als erstes analysiere ich die Inhomogenität (rechte Seite)
> auf ihren Typ und zerlege sie entsprechend:
>
> [mm]\overrightarrow{b(t)} = \vektor{-20e^t * sin(2t) \\ 4t} = t * \vektor{0 \\ 4} + sin(2t)e^t * \vektor{-20 \\ 0}[/mm]
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> Um jetzt den Sinus in den Griff zu kriegen, dachte ich,
> dass ich den zur komplexen e-Funktion ergänze, um nach der
> Rechnung dann wieder nur den Imaginärteil zu nehmen. Damit
> sähen die Werte jetzt also wie folgt aus:
>
> [mm]p_1(t) = t, \mu_1 = 0, p_2(t) = 1, \mu_2 = 2i + 1[/mm]
>
> Der Ansatz für die partikuläre Lösung, den ich dann in
> die DGL einsetzen will, ist also
>
> [mm]\overrightarrow{x_p(t)} = t*\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_1} + e^t*sin(2t)*\overrightarrow{w_0}[/mm]
Da es sich bei der Störfunktion mitunter um eine
trigonometrische Funktion handelt, ist folgender Ansatz zu wählen:
[mm]\overrightarrow{x_p(t)} = t*\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_1} + e^t*sin(2t)*\overrightarrow{w_0}+\blue{ e^t*cos(2t)*\overrightarrow{v_0}}[/mm]
>
> Da habe ich also von der komplexen e-Funktion bereits
> wieder nur die Anteile genommen, die ich am Anfang auch
> hatte. Hier frage ich mich schon, ob das überhaupt korrekt
> ist, was ich da gemacht habe. Beim Einsetzen in die DGL
> wirds jetzt nämlich haarig:
>
> [mm]t*(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_2} + \vektor{0 \\ 4}) + \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 } * \overrightarrow{w_1} + e^t*sin(2t)*(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_0}) = \overrightarrow{w_2} + (e^t*sin(2t) + e^t*cos(2t))*\overrightarrow{w_0}[/mm]
>
> Falls das richtig sein sollte (rechte Seite ist die
> Ableitung der partikulären Lösung, links nur eingesetzt),
> weiß ich nicht, wie es weitergeht. Ich würde jetzt
> Koeffizientenvergleich ansetzen, um die Vektoren w genauer
> zu bestimmen, aber es sind 3 Vektoren und ich kriege im
> besten Fall 2 Gleichungen, von dem cosinus-Term da ganz zu
> schweigen. Bitte, helft mir!
>
>
Gruss
MathePower
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Okay, danke. Kannst du mir denn auch kurz erklären, woher das kommt? Davon hat mein Tutor unter Garantie nichts erwähnt. Verfahre ich dann damit weiter wie gewöhnlich (Einsetzen, Vektoren w bestimmen)?
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Hallo micha_goes_ti,
> Okay, danke. Kannst du mir denn auch kurz erklären, woher
> das kommt? Davon hat mein Tutor unter Garantie nichts
> erwähnt. Verfahre ich dann damit weiter wie gewöhnlich
> (Einsetzen, Vektoren w bestimmen)?
Ja.
Betrachte z.B. die DGL
[mm]y''+y=0[/mm]
Hier macht man den Ansatz [mm]y=e^{\lambda*t}[/mm],
was auf die charakteristische Gleichung
[mm]\lambda^{2}+1=0[/mm]
führt.
Somit ergeben sich mit Hilfe des obigen Ansatz,
die Lösungen zu:
[mm]y\left(t\right)=c_{1}*e^{-i*t}+c_{2}*e^{i*t}[/mm]
ausgeschrieben lautet das:
[mm]y\left(t\right)=c_{1}*\left(\cos\left(t\right)-i*\sin\left(t\right)\right)+c_{2}*\left(\cos\left(t\right)+i*\sin\left(t\right)\right)}[/mm]
Das ist die komplexe Lösung der DGL.
Interessiert ist man aber an einer reelle Lösung der DGL.
Durch geeignete Wahl der Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] erhält man die reelle Lösung
[mm]y\left(t\right)=k_{1}*\sin\left(t\right)+k_{2}*\cos\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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Okay, soweit klar. So richtig durchstiegen habe ich aber den Rechenweg noch nicht:
Ich versuche jetzt also, die Inhomogenität so umzuformen, dass ich daraus irgendwie den von dir genannten Ansatz herleiten kann. Das habe ich jetzt so angefangen:
[mm]\overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + e^tsin(2t)\vektor{-20 \\ 0}
\gdw \overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + e^t(\bruch{e^{2it} - e^{-2it}}{2i})\vektor{-20 \\ 0}
\gdw \overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + (e^{(1+2i)t} - e^{(1-2i)t})\vektor{-10/i \\ 0}
\gdw \overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + e(cos(2t) + i*sin(2t)) - e(cos(2t) - i*sin(2t))\vektor{-10/i \\ 0}[/mm]
Jetzt weiterzumachen wäre sinnlos, dann dreh ich mich ja im Kreis. Zwei Fragen habe ich jetzt dazu:
1. Wie lese ich daraus den Ansatz ab, den du mir vorhin empfohlen hast?
2. Im Vektor steht ja jetzt eine komplexe Komponente. Die wird mir ja zwangsläufig nachher, wenn ich den Ansatz eingesetzt habe und das entstehende "Polynom mit Vektorkoeffizienten" in Gleichungen zerlege, um diese Vektoren (die vorhin bei mir w hießen) zu bestimmen, wieder begegnen. Was ja danach aussieht, als würde sich diese komplexe Komponente bis in die endgültige Lösung ziehen, was ja nicht erlaubt ist, da es sich um eine reelle DGL handelt. Was also mache ich mit diesem Vektor? Ist das Teilen durch 2i überhaupt ordnungsgemäß?
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Hallo micha_goes_ti,
> Okay, soweit klar. So richtig durchstiegen habe ich aber
> den Rechenweg noch nicht:
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> Ich versuche jetzt also, die Inhomogenität so umzuformen,
> dass ich daraus irgendwie den von dir genannten Ansatz
> herleiten kann. Das habe ich jetzt so angefangen:
>
> [mm]\overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + e^tsin(2t)\vektor{-20 \\ 0}
\gdw \overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + e^t(\bruch{e^{2it} - e^{-2it}}{2i})\vektor{-20 \\ 0}
\gdw \overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + (e^{(1+2i)t} - e^{(1-2i)t})\vektor{-10/i \\ 0}
\gdw \overrightarrow{b}(t) = t*\vektor{0 \\ 4} + e(cos(2t) + i*sin(2t)) - e(cos(2t) - i*sin(2t))\vektor{-10/i \\ 0}[/mm]
>
> Jetzt weiterzumachen wäre sinnlos, dann dreh ich mich ja
> im Kreis. Zwei Fragen habe ich jetzt dazu:
> 1. Wie lese ich daraus den Ansatz ab, den du mir vorhin
> empfohlen hast?
Der Ansatz ist immer gemäß der Störfunktion zu wählen.
Bei trigonometrischen Störfunktionen ist der Ansatz eine
Linearkombination aus Sinus und Cosinus.
>
> 2. Im Vektor steht ja jetzt eine komplexe Komponente. Die
> wird mir ja zwangsläufig nachher, wenn ich den Ansatz
> eingesetzt habe und das entstehende "Polynom mit
> Vektorkoeffizienten" in Gleichungen zerlege, um diese
> Vektoren (die vorhin bei mir w hießen) zu bestimmen,
> wieder begegnen. Was ja danach aussieht, als würde sich
> diese komplexe Komponente bis in die endgültige Lösung
> ziehen, was ja nicht erlaubt ist, da es sich um eine reelle
> DGL handelt. Was also mache ich mit diesem Vektor? Ist das
> Teilen durch 2i überhaupt ordnungsgemäß?
Das dividiern durch ein komplexe Zahl ist erlaubt,
solange der Betrag dieser komplexen Zahl ungleich Null ist.
Wenn Du den komplexen Ansatz wählst, dann gehe so vor:
[mm]e^{\left(1+2i\right)*t}=e^{t}*\left( \ \cos\left(2t\right) + i * \sin\left(2t\right)\ \right)[/mm]
Demnach ist
[mm]e^{t}*\sin\left(2t\right)=\operatorname{Re}\left\{\left(-i\right)*e^{\left(1+2i\right)t} \ \right\}[/mm]
Wählt man den komlexen Ansatz, so ist der Realteil
dieser komplexen Lösung auch Lösung der gegebenen DGL.
Die DGL lautet demnach:
[mm]\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }\cdot{} \overrightarrow{x(t)} + \vektor{20 i*e^{\left(1+2i\right)*t} \\ 4t} = \overrightarrow{x(t)}'[/mm]
Gruss
MathePower
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Okay, eine Frage noch für heute :) Ich hab den komplexen Ansatz jetzt versuchsweise mal fortgeführt, also als Lösung folgendes angesetzt:
[mm]\overrightarrow{x_p}(t) = t*\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_1} + e^{(1+2i)t}*\overrightarrow{w_0}[/mm]
Das abgeleitet (für die rechte Seite der DGL) ergibt
[mm]\overrightarrow{x_p}(t)' = \overrightarrow{w_2} + (1+2i)*e^{(1+2i)t}*\overrightarrow{w_0}[/mm]
Jetzt setze ich das in die DGL ein:
[mm]t(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_2} + \vektor{0 \\ 4}) + \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_1} + e^{(1+2i)t}*(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_0} + \vektor{20i \\ 0}) = \overrightarrow{w_2} + e^{(1+2i)t}*(1+2i)*\overrightarrow{w_0}[/mm]
Hab ich das bis dahin jetzt endlich richtig? Weiter verfahren würde ich jetzt mit Koeffizientenvergleich, wie gesagt, und dann von der Lösung nur den Realteil nehmen, wie du gesagt hast.
Danke für die Geduld,
Micha
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Hallo micha_goes_ti,
> Okay, eine Frage noch für heute :) Ich hab den komplexen
> Ansatz jetzt versuchsweise mal fortgeführt, also als
> Lösung folgendes angesetzt:
>
> [mm]\overrightarrow{x_p}(t) = t*\overrightarrow{w_2} + \overrightarrow{w_1} + e^{(1+2i)t}*\overrightarrow{w_0}[/mm]
>
> Das abgeleitet (für die rechte Seite der DGL) ergibt
>
> [mm]\overrightarrow{x_p}(t)' = \overrightarrow{w_2} + (1+2i)*e^{(1+2i)t}*\overrightarrow{w_0}[/mm]
>
> Jetzt setze ich das in die DGL ein:
>
> [mm]t(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_2} + \vektor{0 \\ 4}) + \pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_1} + e^{(1+2i)t}*(\pmat{ 1 & 1 \\ 2 & 0 }*\overrightarrow{w_0} + \vektor{20i \\ 0}) = \overrightarrow{w_2} + e^{(1+2i)t}*(1+2i)*\overrightarrow{w_0}[/mm]
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> Hab ich das bis dahin jetzt endlich richtig? Weiter
> verfahren würde ich jetzt mit Koeffizientenvergleich, wie
> gesagt, und dann von der Lösung nur den Realteil nehmen,
> wie du gesagt hast.
Ja, das ist bis hierhin richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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> Danke für die Geduld,
> Micha
Gruss
MathePower
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