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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Sa 27.11.2004 | | Autor: | Anja83 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Gegeben ist die Funktion:
y=2x²+1
a)
P(x/...) sei ein beliebiger Punkt auf der Kurve.Ein Punkt Q liege um Delta x
Einheiten rechts von P. Bestimmt werden soll als Grenzprozess der Differentialquotient. Was geschieht mit den Punkten P und Q und der Sekante PQ?Was drückt der Differentialquotient aus und warum muss er hier noch die Variable x enthalten?
b) Bestimmt werden soll der Anstieg der Kurve an der Stelle x=5!
Ich weiß bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Kann mir vielleicht jemand helfen?
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Hallo!!!
Der Differentialquotient ist im Prinzip durch den Limes(=Grenzwert) definiert!!!
[mm] \limes_{x \to x_{0}}\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
f(x)=2x²+1 und [mm] x_{0}=5
[/mm]
[mm] f(x_{0})=51 [/mm] so jetzt musst du nur mehr einsetzen und den Grenzwert berechnen was ihr hoffentlich geübt habt!!!
MFG Daniel Schönes WE noch
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Hallo
Also erstmal zu a)
Der Differentialquotient lässt sich im allgemeinen folgender maßen schreiben:
[mm] \limes_{h\rightarrow\zero} [/mm] (f(x+h)-f(x))/((x+h)-x)
h gegen null
wobei in deinem Fall (x+h,f(x+h)) Q entspricht und (x,f(x)) ist P.
(h ist dein delta x)
prinzipiell ist die stiegung einer sekante (oder irgend einer geraden) ja delta y durch delta x. (f(x+h)-f(x)) ist nun dein delta y und (x+h)-x bzw. h dein deleta x. für h gegen null wird die sekante nun zu einer tangente im punkt x die am graphen von [mm] y=2(x^2)+1 [/mm] anliegt. (h gegen null ist gleichbedeutend mit Q wird zu P)
diese tangente ist nun die best mögliche lineare annäherung des graphen in diesem punkt.
der differentialquotient ist ja nun sowas wie delta y durch delta x in diesem punkt. also genau die steigung der Tangente und gibt somit die steigung der ursprünglichen funktion in diesem punkt an.
x muss der diffquo noch enthalten weil er ja die steigung im punkt x angibt.
wenn man den diffquo nun als funktion fon x auffasst (x also genau wie bei f(x) laufen lässt) bekommt man eine funktion von x die die steigung der ursprünglichen funktion in jedem punkt x angibt.
Das ist dann die sog. Ableitung der ursprungsfunktion (Stammfunktion).
zu b)
Ich weiss leider nicht mehr genau wie man das mit dem diffquo macht :(
Aber normaler Weise bestimmt man einfach die Ableitung von f(x) und setzt den gewollten x Wert ein:
D(f(x)): y=4x
Also ist der Anstieg der Kurve im Punkt x=5: 4*5=20
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