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| Aufgabe | In einer Firma soll ein Computer durch ein Anti-Viren programm auf Viren untersucht werden. Das Programm prüft die Dateien mit einer Geschwindigkeit (in Kbit/Sek), welche durch die Funktion h(x)=0,012x³-0,3x²+2x beschrieben werden kann.
Nachdem das Programm 6 Minuten gelaufen ist, wird es kurz gestoppt und anschließend bis zum Ende noch weitere 12 Minuten durchlaufen gelassen.
Berechne die überprüfte Datenmenge.
Gibt es noch einen weiteren Weg, die Datenmenge zu berechnen?
Formuliere eine Regel für diese Integraleigenschaft, und beweise sie. |
Hallo,
also habe mir folgende Gedanken gemacht:
Das Programm läuft insgesamt 18 Minuten, das sind 1080 Sekunden.
Über das Integral kann ich nun die Datenmenge ausrechnen, die in 1080 sekunden überprüft wird, und zwar:
[mm] \integral_{0}^{1080}{h(x) = 0,012x³-0,3x²+2x dx} [/mm] = [mm] [0,003x^{4}-0,15x³+x²] [/mm]
Wenn ich nun für x=1080 setze, komme ich auf:
3893676480 Kbit
Nun mein Ansatz zum weiteren Weg:
[mm] \integral_{0}^{1080}{h(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{360}{h(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{360}^{720}{h(x) dx}
[/mm]
Ich vermute also die Regel, dass man die Integrale auch "addieren kann" und nachher beim selben Flächeninhalt herauskommt, in dem Fall bei der selben Datenmenge.
Wenn ich das allerdings einsetze, komme ich nicht auf das selbe Ergebnis oben.
Nun komme ich nicht weiter.
Ist das bis hierhin richtig?
Wie beweise ich die Regel? bin nicht so gewandt, wenn es um's Beweise geht, und war heute krank, demnach weiß ich nicht, ob wir das schon besprochen haben...
LG
Informacao
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Informacao!
Dein "Verdacht" ist doch schon sehr gut, was das "Addieren von Integralen" betrifft. Allerdings lautet hier die allgemeine Regel:
[mm] $$\integral_{\blue{a}}^{\green{b}}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{\blue{a}}^{\red{c}}{f(x) \ dx}+\integral_{\red{c}}^{\green{b}}{f(x) \ dx}$$
[/mm]
Umgesetzt auf Deine Aufgabe musst Du hier also als obere Integrationsgrenze für das zweite Integral $1080_$ einsetzen:
[mm] $$\integral_{0}^{1080}{h(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{360}{h(x) \ dx} +\integral_{360}^{\red{1080}}{h(x) \ dx}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
Danke für die Hilfe!
Achja, stimmt... jetzt müsste ich auch auf das richtige Ergebnis rauskommen. Werde das gleich probieren, ist ja nur eine "Einsetz-Übung" 
Ich gehe nun mal einen Schritt weiter und Versuche die Regel "Addieren von Integralen" zu verallgemeinern:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x)+h(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{h(x) dx}
[/mm]
Ist das soweit richtig? Das ist doch die Integraleigenschaft, die ich verwendet habe?
Wie beweise ich das denn nun? Komme damit nicht klar, und freue mich über Hilfe.
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:01 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Informacao!
Nein, diese Regel verwendest Du hier nicht (Deine oben angegebene Regel passt eher zu Deiner anderen Aufgabe). Wir haben hier doch nur eine Funktion und variieren lediglich die Integrationsgrenzen:
[mm] [hr]$$\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_a^c{f(x) \ dx}+\integral_c^b{f(x) \ dx}$$[hr]
[/mm]
Für den Beweis setze doch einfach mal die Grenzen ein und vergleiche:
[mm] $$\integral_a^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ F(b)-F(a)$$
[mm] $$\integral_a^c{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ F(c)-F(a)$$
[mm] $$\integral_c^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ \ \ [mm] \integral_a^c{f(x) \ dx}+\integral_c^b{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:03 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Informacao |
Oh, achso.. was genau ist das dann für eine Regel?
Den Beweis verstehe ich nicht.. kannst du den erklären?
(Wénn du Lust/Zeit hast kannst du mir ja gerne noch bei meiner anderen Aufgabe helfen.. da sitze ich echt schon lange dran.. um da mal voran zu kommen :( )
LG
Informacao
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Informacao!
Die Regel, die hier angewandt wird, steht doch ganz klar und deutlich in meiner letzten Antwort.
Für den Beweis brauchst Du doch nur die letzten beiden Integrale bzw. Werte der Stammfunktion aufschreiben sowie einsetzen und zusammenfassen.
Gruß
Loddar
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>
> [mm]\integral_a^b{f(x) \ dx} \ = \ \integral_a^c{f(x) \ dx}+\integral_c^b{f(x) \ dx}[/mm]
>
> Für den Beweis setze doch einfach mal die Grenzen ein und
> vergleiche:
>
> [mm]\integral_a^b{f(x) \ dx} \ = \ F(b)-F(a)[/mm]
>
> [mm]\integral_a^c{f(x) \ dx} \ = \ F(c)-F(a)[/mm]
>
> [mm]\integral_c^b{f(x) \ dx} \ = \ ...[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \ \ \ \ \integral_a^c{f(x) \ dx}+\integral_c^b{f(x) \ dx} \ = \ ...[/mm]
>
Hi,
danke, bis hierhin verstehe ich das nun...
aber was kommt jetzt nach den 3 Punkten?? Kommt dann wieder : = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] ?
Dann wäre das ja nicht der richtige Beweis?
Kannst du mir nochmal helfen?
LG
Informacao
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Informacao |
Hmm... komme da an der Stelle immer noch nicht weiter..
Wollte nur sagen, dass ich es probiert habe, aber immer noch mit dem Verständnis hängen bleibe..
LG
Informacao
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 17.09.2007 | | Autor: | Blech |
[mm]\integral_a^b{f(x) \ dx} \ = \ F(b)-F(a)[/mm]
[mm]\integral_a^c{f(x) \ dx} \ = \ F(c)-F(a)[/mm]
Jetzt setz doch mal analog zu den beiden oberen ein
[mm]\integral_c^b{f(x) \ dx} \ = \ ...[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:01 Di 18.09.2007 | | Autor: | Informacao |
Achja, nun ist der Groschen gefallen :)
Danke für die Hilfe!
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