Anwendung Cantelli-Ungleichung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
ich stehe grad auf dem Schlauch: In meinem Buch wird die Cantelli-Ungleichung
P(X - E(X) [mm] \ge [/mm] c) [mm] \le \bruch{Var(X)}{Var(X) + c^2}, [/mm] c [mm] \ge [/mm] 0
hergeleitet und dann geschrieben:
"Als kleine Anwendung können wir festhalten, dass der Fall c = [mm] \wurzel{Var(X)} [/mm] zeigt, dass der Median im Intervall [E(X) - [mm] \wurzel{Var(X)}, [/mm] E(X) + [mm] \wurzel{Var(X)}] [/mm] liegen muss."
Ich kann verstehen, dass mit
P(X - E(X) [mm] \ge \wurzel{Var(X)}) \le \bruch{Var(X)}{Var(X) + Var(X)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
auch
P(X [mm] \ge [/mm] E(X) + [mm] \wurzel{Var(X)}) \le \bruch{1}{2}
[/mm]
gilt. Aber wie kann ich jetzt noch zeigen, dass auch gilt:
P(X [mm] \le [/mm] E(X) - [mm] \wurzel{Var(X)}) \le \bruch{1}{2}
[/mm]
?
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Hiho,
betrachten wir die ZV $Y = -X$, dann ist $E[Y] = -E[X], [mm] \text{Var}(Y) [/mm] = [mm] \text{Var}(X)$ [/mm] und wir erhalten:
[mm] $P\left(X \le E(X) - \wurzel{Var(X)}\right) [/mm] = [mm] P\left(-X \ge -E(X) + \wurzel{Var(X)}\right) [/mm] = [mm] P\left(Y - E[Y] \ge \wurzel{Var(Y)}\right) \le \frac{1}{2}$
[/mm]
Gruß,
Gono
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