Anwendung Formel von Ackermann < Regelungstechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:35 So 15.03.2009 | | Autor: | kowi |
| Aufgabe | Vorab, ich habe eine explizite Frage zur Musterlösung unten
Die Pole des Systems Y(s) = [mm] \frac{1}{s^2+w^2} [/mm] U(s) sollen mit Hilfe eines PI-Zustandsreglers nach [mm] s_{1,2} [/mm] = [mm] -1\pm [/mm] j verschoben werden. Der zusätzliche Pol soll bei [mm] s_3 [/mm] = -2 liegen.
a) Wie lautet die Rückführverrstärkung [mm] k^t, [/mm] die P-Verstärkung p und die I-Verstärkung [mm] P_I [/mm] für den Fall, dass die Stellgröße bei sprungförmiger Änderung der Führungsgröße auf ihren stationären Wert springen soll
Lösung
Das System in Zustandsraumdarstellung, hier in Regelungsnormalform, lautet
A = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - w^2 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
b = [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] ; [mm] c^t [/mm] = [1 , 0]
Proportional Glied $p = [mm] -\frac{1}{c^t A^{-1}b} [/mm] = ... = [mm] w^2 [/mm] $
det(A) = [mm] w^2; A^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & -1/w^2 \\ 1 &0 \end{pmatrix}
[/mm]
Das erweiterte System
[mm] A_e [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - w^2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 &0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] b_e [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] ; [mm] c^t [/mm] = [1 , 0 , 0]
Die Rückführverstärkung [mm] k_e^T [/mm] wird nach der Formel von Ackermann gesucht
[mm] Q_s [/mm] = [mm] [b_e [/mm] , [mm] A_e b_e [/mm] , [mm] A_e^2 b_e] [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -w^2 \\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] Q_s^{-1} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & -w^2 \\ 1 &0 &0 \\0 & 0 &-1 \end{pmatrix} [/mm]
=> [mm] t_1^T [/mm] = [ 0 , 0 , -1]
[mm] P_\alpha [/mm] = [s-(-1+j)]*[(s-(-1-j)]*(s+2) = [mm] s^3+4s^2+6s+4
[/mm]
[mm] k_e^T [/mm] = [mm] t_1^T P_\alpha(A) [/mm] = [mm] [6-w^2 [/mm] , 4 , -4 ]
Frage
Wie kann man diesen Vektor [mm] k_e^T [/mm] berechnen? Ich sehe es nicht
Obwohl wir bei einer ähnlichen Aufgabe verwendet habenk: [mm] k^T [/mm] = [mm] \alpha^T [/mm] - [mm] a^T, [/mm] wobei -adie letzte Zeile der Systemmatrix A war und [mm] \alpha^T [/mm] die Koeffizienten von [mm] P_\alpha(s).
[/mm]
Bsp.
A = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\-w^2 & 0 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] a^T [/mm] = [mm] [w^2 [/mm] , 0]
[mm] P_\alpha [/mm] (s) = [mm] s^2+2s+2 [/mm]
=> [mm] \alpha^T [/mm] = [2 , 2]
Rest der Lösung
[mm] k_e^T [/mm] = [mm] [k^T [/mm] + [mm] pc^T [/mm] , [mm] -p_I]
[/mm]
Aus den letzten beiden Gleichungen folgt daher
[mm] k^T+pc^T [/mm] = [mm] [6-w^2 [/mm] , 4] => [mm] [k_1 [/mm] , [mm] k_2] [/mm] + [mm] w^2 [/mm] [1 , 0] = [6 [mm] -w^2 [/mm] , 4] = [mm] [k_1 [/mm] , [mm] k_2] [/mm] + [mm] p*c^T
[/mm]
[mm] p_I [/mm] = 4 ; [mm] k_1 [/mm] = [mm] 6-2w^2 [/mm] , [mm] k_2 [/mm] = 4
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Hallo.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte, was [mm] k_e^T [/mm] = [mm] t_1^T P_\alpha(A) [/mm] rechnerisch bedeutet.
Vielen Dank für eure Zeit!
Liebe Grüße,
kowi
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:45 So 15.03.2009 | | Autor: | kowi |
| Aufgabe | Vorab, ich habe eine explizite Frage zur Musterlösung der Aufgabe B! unten. Hier die Vorgeschichte bzw. Aufgabenteil a samt Lösung
Die Pole des Systems Y(s) = $ [mm] \frac{1}{s^2+w^2} [/mm] $ U(s) sollen mit Hilfe eines PI-Zustandsreglers nach $ [mm] s_{1,2} [/mm] $ = $ [mm] -1\pm [/mm] $ j verschoben werden. Der zusätzliche Pol soll bei $ [mm] s_3 [/mm] $ = -2 liegen.
a) Wie lautet die Rückführverrstärkung $ [mm] k^t, [/mm] $ die P-Verstärkung p und die I-Verstärkung $ [mm] P_I [/mm] $ für den Fall, dass die Stellgröße bei sprungförmiger Änderung der Führungsgröße auf ihren stationären Wert springen soll
Lösung
Das System in Zustandsraumdarstellung, hier in Regelungsnormalform, lautet
A = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ - w^2 & 0 \end{pmatrix} [/mm] $
b = $ [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] $ ; $ [mm] c^t [/mm] $ = [1 , 0]
Proportional Glied $ p = [mm] -\frac{1}{c^t A^{-1}b} [/mm] = ... = [mm] w^2 [/mm] $
det(A) = $ [mm] w^2; A^{-1} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 & -1/w^2 \\ 1 &0 \end{pmatrix} [/mm] $
Das erweiterte System
$ [mm] A_e [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ - w^2 & 0 & 0 \\ -1 & 0 &0 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] b_e [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 } [/mm] $ ; $ [mm] c^t [/mm] $ = [1 , 0 , 0]
Die Rückführverstärkung $ [mm] k_e^T [/mm] $ wird nach der Formel von Ackermann gesucht
$ [mm] Q_s [/mm] $ = $ [mm] [b_e [/mm] $ , $ [mm] A_e b_e [/mm] $ , $ [mm] A_e^2 b_e] [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -w^2 \\ 0 & 0 &-1 \end{pmatrix} [/mm] $
$ [mm] Q_s^{-1} [/mm] $ = $ [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 & -w^2 \\ 1 &0 &0 \\0 & 0 &-1 \end{pmatrix} [/mm] $
=> $ [mm] t_1^T [/mm] $ = [ 0 , 0 , -1]
$ [mm] P_\alpha [/mm] $ = [s-(-1+j)]*[(s-(-1-j)]*(s+2) = $ [mm] s^3+4s^2+6s+4 [/mm] $
$ [mm] k_e^T [/mm] $ = $ [mm] t_1^T P_\alpha(A) [/mm] $ = $ [mm] [6-w^2 [/mm] $ , 4 , -4 ]
$ [mm] k_e^T [/mm] $ = $ [mm] [k^T [/mm] $ + $ [mm] pc^T [/mm] $ , $ [mm] -p_I] [/mm] $
Aus den letzten beiden Gleichungen folgt daher
$ [mm] k^T+pc°T [/mm] $ = $ [mm] [6-w^2 [/mm] $ , 4] => $ [mm] [k_1 [/mm] $ , $ [mm] k_2] [/mm] $ + $ [mm] w^2 [/mm] $ [1 , 0] = [6 $ [mm] -w^2 [/mm] $ , 4] = $ [mm] [k_1 [/mm] $ , $ [mm] k_2] [/mm] $ + $ [mm] p\cdot{}c^T [/mm] $
$ [mm] p_I [/mm] $ = 4 ; $ [mm] k_1 [/mm] $ = $ [mm] 6-2w^2 [/mm] $ , $ [mm] k_2 [/mm] $ = 4
Aufgabe b
Geben Sie die Zustandsraumbeschreibung des geregelten Systems an! Die Eingangsgröße sei die Führungsgröße w.
Lösung
Die Zustandsraumbeschreibung des geregelten Systems:
u = - [mm] K^T [/mm] x + P(w-c^Tx) + p_Iz
[mm] \dot{x} [/mm] = [mm] A_x+ [/mm] bu
[mm] \dot{z} [/mm] = w-c^tx
y = [mm] c^t [/mm] x
Frage
Das ist wohl eine Frage an die Experten. Aber wie kommt man auf u und [mm] \dot{z} [/mm] ? Auch bei [mm] \dot{x} [/mm] und y sehe ich nicht, wo das herkommt, allerdings ist das ja die bekannte Form für Einfachsysteme. Also wo kommt das mit dem u und den [mm] \dot{z} [/mm] her?
Restlösung
Nun werden die Informationen in [mm] \dot{x}eingesetzt [/mm] und man erhält schlussendlich
[mm] \vektor{\dot{x} \\ \dot{z}} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} A-bk^T - bpc^T & bp_I \\ -c^T & 0 \end{pmatrix}*\vektor{x \\ z} [/mm] + [mm] \vektor{bp \\ 1} [/mm] w
y = [mm] [c^T [/mm] , 0 ] [mm] \vektor{x \\ z} [/mm] |
Hallo miteinander.
Wäre lieb, wenn mir da jemand helfen könnte.
Eine ähnliche Formel habe ich in meiner Mitschrift gefunden, aber da fiel die Formel nur so vom Himmel
Das Thema war stationäre Genaugikeit.
Zitat "Wir wollen die im Stellgesetzt [mm] u=-k^T [/mm] x + pw auftretende Vorverstärkung p ermitteln."
Leider wird die Formel nirgends hergeleitet und taucht an der Stelle zum ersten Mal auf. Deswegen komme ich in der Aufgabe oben an dem einen Punkt auch weiter.
Ich freue mich über jegliche Hilfe,
schöne Grüße
kowi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 15.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 15.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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