Anwendung der Differenzialr. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)= x³-3t²x
Berechne für allgemein t den Schnittpunkt des Schaubildes Kt von ft mit der positiven x-Achse sowie seinen Hoch- und Tiefpunkt.
Für welchen Wert von t
1) geht Kt durch A(3|0)
2) ist die 2. Winkelhalbierende Tangente im Urspung
3) liegen die Extrempunkte auf der 2. Winkelhalbierenden
4) ist die Tangente im Schnittpunkt mit der positiven x-Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden |
Hallo meine Frage bezieht sich auf die unten stehende Aufgabe, wir sollen uns in die Anwendung der Differenzialrechnung selbst mit Aufgaben einarbeiten, jedoch verstehe ich nicht, wie ich die Werte für t errechne, die
Verallgemeinerung habe ich soweit mit Umstellen und der Lösungsformel die Nullstellen ausgerechnet und Hoch und Tiefpunkte, wäre jedoch nicht schlecht, wenn ich da nochmal was zum vergleichen hätte. Hoffe auf Antworten.
Bei 1) habe ich Wurzel 3 herausbekommen also t-Wert. Die anderen Aufgaben sind mir jedoch nicht schlüssig.
Danke!
Peter
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Anwendung-Differentialrechnung-11
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Hallo BOBfighter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)= x³-3t²x
> Berechne für allgemein t den Schnittpunkt des Schaubildes
> Kt von ft mit der positiven x-Achse sowie seinen Hoch- und
> Tiefpunkt.
>
> Für welchen Wert von t
> 1) geht Kt durch A(3|0)
> 2) ist die 2. Winkelhalbierende Tangente im Urspung
> 3) liegen die Extrempunkte auf der 2. Winkelhalbierenden
> 4) ist die Tangente im Schnittpunkt mit der positiven
> x-Achse parallel zur 1. Winkelhalbierenden
> Hallo meine Frage bezieht sich auf die unten stehende
> Aufgabe, wir sollen uns in die Anwendung der
> Differenzialrechnung selbst mit Aufgaben einarbeiten,
> jedoch verstehe ich nicht, wie ich die Werte für t
> errechne, die
> Verallgemeinerung habe ich soweit mit Umstellen und der
> Lösungsformel die Nullstellen ausgerechnet und Hoch und
> Tiefpunkte, wäre jedoch nicht schlecht, wenn ich da
> nochmal was zum vergleichen hätte. Hoffe auf Antworten.
>
> Bei 1) habe ich Wurzel 3 herausbekommen also t-Wert. Die
> anderen Aufgaben sind mir jedoch nicht schlüssig.
>
Dieser t-Wert ist richtig.
Da es keine Einschränkung an t gibt, ist auch [mm]t=-\wurzel{3}[/mm] zulässig.
> Danke!
> Peter
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Anwendung-Differentialrechnung-11
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)= x³-3t²x
> Berechne für allgemein t den Schnittpunkt des Schaubildes
> Kt von ft mit der positiven x-Achse sowie seinen Hoch- und
> Tiefpunkt.
>
> Für welchen Wert von t
da stünde besser: "Für welchen Wert oder welche Werte...", oder, noch besser: "Für genau welche Werte von $t\,$..."
> 1) geht Kt durch A(3|0)
> 2) ist die 2. Winkelhalbierende Tangente im Urspung
> Bei 1) habe ich Wurzel 3 herausbekommen also t-Wert. Die
> anderen Aufgaben sind mir jedoch nicht schlüssig.
Zu 2) Ich nehme mal an, dass die 2. Winkelhalbierende der Graph von $x \mapsto w_2(x):=-x$ ($x \in \IR$) ist?
Naja, versuche halt, möglichst viele notwendige Bedingungen herauszulesen, die bestenfalls auch hinreichend sind:
Der Graph von $x \mapsto w_2(x):=-x$ hat an der (sogar jeder) Stelle $x_0=0$ die Ableitung $-1\,:$
$$w_2'(0)=-1\,.$$
Wie kann ich die Tangente an $f_t(x)=x^3-3t^2x$ an der Stelle $x_0:=0$ beschreiben (beachte: $t\,$ bleibt zwar ein Parameter, also beliebig, ist aber als fest anzusehen)?
Für jedes $t\,$ kann die bzgl. $f_t$ angesprochene Tangente an der Stelle $x_0=0\,$ als Graph einer Funktion
$$T_t(x)=m_t*x+b_t$$
angesehen werden, wobei man hier, weil man die Stelle $0\,$ betrachtet, die Beziehungen hat
$$a.)\;\;\;T_t(0)=f_t(0)\,,$$
$$b.)\;\;\;m_t=f_t'(0)\,.$$
Insbesondere beinhaltet hier $a.)\,,$ dass $b_t=0\;\;\;(=f_t(0))$ gelten muss!
(Würde die Stelle nur als $x_0$ vorgegeben sein, so hast Du in $a.)\,$ und $b.)\,$ jede $0\,$ durch $x_0$ zu ersetzen!)
$\text{(}$Dabei ist $f_t'(x)=\frac{d f_t(x)}{dx}$ die Ableitung von $f_t=f_t(x)$ nach der Variablen $x\,$ ausgewertet an der Stelle $x\,,$ d.h.
$$f_t'(0)=\left.\frac{d f_t(x)}{dx}\right|_{0}\,.\text{)}$$
Die 2.Winkelhalbierende $w_2(x)=-x$ ist schon in der Form
$$w_2(x)=-1*x+0\,,$$
also in Form einer "Geradengleichung". Daher folgen mit $a.)\,$ und $b.)\,,$ dass die in 2.) gesuchten Funktionen $f_t$ notwendigerweise erfüllen müssen
$$f_t(0)=b_t=0$$
(das ist hier aber - nach einen kurzen Blick auf die Funktionsgleichung von $f_t$ - aber keine wirkliche Bedingung an die $f_t$) sowie
$$f_t'(0)=-1\,.$$
Rechne nach:
$$f_t'(x)=3x^2-3t^2\,.$$
Was ist somit $f_t'(0)$? Und was liefert Dir dann $f_t'(0)=-1$? Wieso sind die so gefundenen $t\,$ auch hinreichend?
P.S.:
Wenn Du nun 2.) verstanden und gelöst hast: Vielleicht erkennst Du, dass Du im Prinzip bei 3.) und 4.) analog vorgehst - nur halt mit einem anderen Wissen. Was gilt etwa an Extremstellen für die Ableitung? Etc. pp...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Di 03.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben ist die Funktionsschar ft(x)= x³-3t²x
übrigens mal so als Hinweis: Wenn es keine weiteren Einschränkungen an [mm] $t\,$ [/mm] gibt, so hast Du immer "automatisch ein Lösungspaar in [mm] $t\,$":
[/mm]
Es gilt nämlich offenbar für alle [mm] $x\,:$
[/mm]
[mm] $$f_t(x)=x^3-3t^2x=x^3-3(-t)^2=f_{-t}(x)\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Fr 06.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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