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Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Anwendung des Skalarprodukts
Anwendung des Skalarprodukts < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anwendung des Skalarprodukts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 So 14.12.2008
Autor: MathStudent1

Aufgabe
Zeigen Sie mit Hilfe der Eigenschaften des Skalarprodukts, dass in einem beliebigen euklidischen Vektorraum gilt:

Ein Dreieck ist genau dann gleichseitig, wenn zwei der drei Winkel zwischen zwei Seiten 60 Grad betragen.

Hallo zusammen,

also die Aussage oben ist mir natürlich klar. Wenn zwei Winkel eines Dreiecks 60 Grad betragen, muss der dritte Winkel natürlich ebenso 60 Grad groß sein. Aber wie ich das mit Hilfe des Skalarprodukts und der Winkelformel am Besten zeige, ist mir nicht wirklich klar.
Ich hoffe jemand von euch hat eine Idee, wie ich vorgehen könnte.

Danke bereits im Voraus,
Gruß Michael

        
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:06 So 14.12.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Im Dreieck lege den Winkel [mm] \alpha [/mm] an die Ecke A, [mm] \beta [/mm] an B und [mm] \gamma [/mm] an C. Dann gilt: [mm] \alpha=\beta=\gamma=60° [/mm]

[]Ausserdem gilt: [mm] \cos(60°)=\bruch{1}{2} [/mm]

Damit ergeben sich Drei Bedingungen, nämlich:

[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{AC}|} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\overrightarrow{BC}*\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BC}|*|\overrightarrow{BA}|} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{\overrightarrow{CA}*\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|*|\overrightarrow{CB}|} [/mm]

Jetzt zeige mal, dass das nur gilt, wenn [mm] |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CA}| [/mm]

Marius

Bezug
                
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:23 So 14.12.2008
Autor: MathStudent1

Hi,

Vielen Dank schonmal für deine Hilfe.
Jetzt hab ich nur noch eine Frage zur Winkelformel.
Wir haben sie so definiert:
cos("Winkel"(u,v)) = [mm] \bruch{}{|u||v|}. [/mm]

Gilt immer <u,v> = u*v ?

Weil du die Winkelformel so anwendest...
Wir haben bis jetzt noch nicht wirklich viel zu diesem Thema gemacht...
Vielen Dank,
Michael

Bezug
                        
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 So 14.12.2008
Autor: M.Rex

Hallo

Mit [mm] \vec{a}*\vec{b} [/mm] meine ich das Skalarprodukt [mm] <\vec{a};\vec{b}> [/mm] das hätte ich vielleicht dazuschreiben sollen.

Marius

Bezug
                
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 18:45 So 14.12.2008
Autor: MathStudent1

Hey Marius,

vielen Dank nochmal für deine Hilfe.
Ich hab jetzt wirklich lang rumprobiert, aber bin immer noch nicht wirklich weiter gekommen. ich steh da wahrscheinlich grad irgendwie aufm schlauch...
Könntest du mir vielleicht nochmal weiterhelfen?

Gruß Michael



Bezug
                        
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:28 So 14.12.2008
Autor: weduwe

warum denn einfach, wenn´s auch kompliziert geht :-)

Bezug
                        
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 Di 16.12.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:10 So 14.12.2008
Autor: weduwe

du kannst dich auf die von A, B und C aufgespannte ebene beschränken.
nimm A(0/0) und B(1/0) und zeige mit dem skalarprodukt, dass C die koordinaten [mm] C(\frac{1}{2}/\pm\frac{\sqrt{3}}{2}) [/mm] hat, wenn die winkel bei A und B 60° betragen.

und dann machst du noch "das umgekehrte"

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Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:09 So 14.12.2008
Autor: MathStudent1

Hallo,

entschuldige, ich hatte nicht gesehen, dass noch ein Beitrag gepostet wurde.
Danke auch für deine Hilfe.
Aber ich hätte noch eine Frage:
Ist deine Lösung nicht nur ein Spezialfall?
Ich muss ja den allgemeinen Fall berachten...
Gruß Michael

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Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 So 14.12.2008
Autor: leduart

Hallo
Wenn dir das speziell aussieht nimm statt (1,0) (a,0), spätestens dann ist es allgemein.
Gruss leduart.

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Bezug
Anwendung des Skalarprodukts: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Di 16.12.2008
Autor: MathStudent1

Vielen Dank an euch alle,
es funktioniert jetzt.

Gruß Michael

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