Anwendung l'Hospital < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
folgende Aufgabe:
Bestimme den Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel[3]{x^3-1} [/mm] - x - 2
Die Musterlösung die ich absolut nicht verstehe lautet wie folgt:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \wurzel[3]{x^3-1} [/mm] - x - 2 = [mm] \limes_{t\rightarrow0+} \wurzel[3]{\frac{1}{t}-1}-\frac{1}{t}-2
[/mm]
= [mm] \limes_{t\rightarrow0+} \frac{(1-t^3)^{\frac{1}{3}}-1-2t}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow0+} \frac{-t^2(1-t^3)^{-\frac{2}{3}}-2}{1} [/mm] = -2
Wurde angeblich mit l'Hospital gemacht.
Mir ist schon die erste Umformung unklar. Wieso wird da plötzlich t gegen 0+ gehen lassen?
Was mir aufgefallen ist: [mm] \limes_{t\rightarrow0+} \frac{1}{t} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^3 [/mm] - scheinbar werden da Ausdrücke eingebaut, die den selben Grenzwert haben und solange umgeformt bis halt ein Bruch, den mal mit l'Hospital dasteht...
Aufklärung bitte :))
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:37 Mi 30.04.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
der ganze Aufwand zielt darauf ab, einen Bruchterm in den Limesausdruck mitreinzubekommen, um auf diese Weise die Regel von L'Hospital anwenden zu können. In diesem Falle passierte dies durch eine Substitution der Form
$$ [mm] \lim_{x \rightarrow \infty} [/mm] x = [mm] \lim_{t \rightarrow 0} \bruch{1}{t} \, [/mm] . $$
Mehr steckt nicht dahinter, aber ich gebe gerne zu, dass man auf diese Umformung auch erst mal kommen muss.
Viele Grüße,
Infinit
|
|
|
|
