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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Di 16.11.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Bisher habe ich ich meinem Studium Anwendungsaufgaben vermisst. Nun habe ich eine und diese raubt mir den letzten Nerv:
Ein Airbus A340 bekommt kurz vor dem Landeanflug auf den Flughafen Köln/Bonn die Anweisung vom
Tower, für die nächste Zeit mit konstanter Geschwindigkeit von 300km/
h und konstanter Höhe von 4000m
einen Kreis vom Umfang 20km (nach links) zu fliegen. Der Airbus befindet sich zu diesem Zeitpunkt
gerade auf einer Höhe von 4000m und fliegt mit einer Geschwindigkeit von 300km/h. Der Kapitän hält
sich nach Möglichkeit an die Vorgaben des Towers und versucht den Kreis mit der nötigen Neigung und
Geschwindigkeit zu fliegen, kann die gerichtete Beschleunigung (Kombination aus Neigungswinkel und
Beschleunigung) aber nur mit 0,02% Fehlergenauigkeit halten.
a) Beschreiben Sie die optimale Flugbahn des Airbus durch Position (im [mm]\IR^3[/mm]) und Geschwindigkeit (in
Richtung der Koordinatenachsen). Tipp: Wählen Sie für die Position die Einheit km und für die Geschwindigkeit
die Einheit 100km/h .
Dazu habe ich mal einen Kreis gezeichnet.
Dieser hat den Umfang 20km, also einen Radius von r=[mm]10/\pi[/mm].
Die Flugbahn soll in einem dreidimensionalen Raum in Richtung der Koordinatenachsen angegeben werden.
Somit (Ablesen aus dem Kreis) erhält man doch:
[mm]x_1 = r*cos(\pi/10 * t *v)[/mm], wobei t die Zeit und v die Geschwindigkeit ist.
[mm][mm] x_2 [/mm] = [mm] r*sin(\pi/10 [/mm] * t *v)[mm]
[mm]x_3 = 4 [/mm] (Höhe bleibt konstant 4000m!)
Damit sollte doch dieser Teil erledigt sein, oder?
b) Stellen Sie eine Differentialgleichung f¨ur Position und Geschwindigkeit des Airbus auf.
Dazu habe ich jede Komponente nach t abgeleitet und erhalte folgnde DGL:
(Leider hakt der Formeleditor)
x´´ = Mat(3x3) *x´
mit Mat(3x3) zeilenweise: (0, [mm]\Pi/10[/mm], 0)
([mm]\Pi/10[/mm], 0,0)
(0,0,0)
(Sorry, für die schlechte Darstellung).
Ich hoffe, dass stimmt auch so?
c) Wo wäre der Airbus nach 4 Minuten Flugzeit (wählen Sie ein geeignetes Koordinatensystem des [mm][mm] \IR^6[\m]
[/mm]
für Anfangsposition und Flugrichtung)?
Nach 4 Minuten befindet sich der Flieger wieder an der selben Stelle.
Das kann man überprüfen, indem man t=4min und v=5km/h in [mm] x_1,x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] einsetzt, wobei [mm] x_3 [/mm] konstant 4 bleibt.
Aber wie soll ich den [mm]\IR^6[/mm] einbeziehen?
d) Kann er sich nach 4 Minuten von diesem Punkt um 1000m (oder weiter) entfernt (in Maximumsnorm
gemessen) befinden?
Hier kommt bestimmt die Fehlergenauigkeit sowie die Stabilität einer DGL ins Spiel.
Aber ich habe keine Ahnung, wie ich das hier anstellen soll!
Da bräuchte ich mal Eure Hilfe!
Schon mal Danke im voraus!
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Ahoi:
Ich schreibe r für den Vektor (x1,x2,x3).
r ist Funktion von t.
dr/dt gibt v.
ACHTUNG: dieses v hängt von t ab. Vorsicht mit den Bezeichnungen. Du hast einerseits die konstante eindimensionale Geschwindigkeit des Flugzeugs, andererseits den Vektor v(t)=(v1,v2,v3).
dv/dt gibt a.
Auch a ist ein Vektor und hängt von t ab.
Aber: wahrscheinlich kannst Du die zeitabhängigen Terme in a durch x1,x2,x3 ausdrücken, so dass a keine _explizite_ Zeitabhängigkeit mehr hat.
Somit kannst Du das lineare DGl-System d2r/dt2 = (Matrix) r aufstellen.
Für Stabilitätsbetrachtungen ist es nun günstiger, nur mit ersten Ableitungen zu arbeiten.
Dazu definiertst Du einen Vektor im R6: u=(x1,x2,x3,v1,v2,v3) und formst obiges 3x3 DGl-System in ein 6x6 DGl-System um: du/dt = (6x6-Matrix) u.
Viel Erfolg - PP
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