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Hallo,
ich habe folgendes Problem und zwar wurde mir in der Schule die folgende Aufgabe gestellt, allerdings habe ich keine Ahnung wie man hier den Parameter a aurechnet:
Bestimme. für welchen Wert des Parameters a > 0 die von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche der Inhalt A hat.
f(x) = [mm] x^2
[/mm]
g(x) = [mm] -ax^2+2a^2
[/mm]
A = 4,5 FE
Wäre um eine Antwort dankbar, da ich bald eine Klausur über u.a dieses Thema schreibe.
habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:02 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich versuche mal, dir einen Ansatz zu geben, rechnen musst du dann selber. Aber wenn du nicht weiterkommst, kannst du deine bisherigen Rechnungen hier aufschreiben, dann gucke ich's mir an und helfe dir weiter!
> Bestimme. für welchen Wert des Parameters a > 0 die von den
> Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche der
> Inhalt A hat.
>
> f(x) = [mm]x^2
[/mm]
> g(x) = [mm]-ax^2+2a^2
[/mm]
>
> A = 4,5 FE
Stell dir vor, du hast zwei Funktionen gegeben, wo alle Koeffizieten gegeben sind (also kein a oder so drin vorkommt). Wie würdest du dann die Fläche zwischen beiden berechnen?
Du müsstest zuerste die Schnittpunkte der beiden Funktionen berechnen, dann musst du die "kleinere Funktion" von der "größeren" abziehen und über genau diese Differenz das Integral bilden, und zwar von dem ersten Schnittpunkt bis zum zweiten. Ist das klar? Das habt ihr doch bestimmt gemacht, oder?
So, hier musst du es im Prinzip auch so machen, nur hast du ja etwas anderes gegeben.
Du hast du Funktionen f und g, wenn du sie gleichsetzt, erhältst du die Schnittpunkte (da kommt dann wohl ein a drin vor...). Wenn du weißt, wie [mm] x^2 [/mm] und [mm] -x^2 [/mm] aussehen, dann kannst du dir auch sicher vorstellen, wie die Fläche ungefähr aussieht, jedenfalls liegt dann f unterhalb von g, damit sie eine Fläche einschließen. Du schreibst also:
[mm] \integral{g(x)-f(x) dx} [/mm] und als Integrationsgrenzen setzt du die Schnittpunkte ein.
Wenn du das dann berechnest, setzt du es einfach gleich A und löst es nach a auf. Dann müsstest du auch schon fertig sein.
Wie gesagt, probier's mal, ich glaube, du hast ja noch ein bisschen Zeit vor der Klausur. Und wenn' nicht klappt, melde dich, wo dein Problem liegt!
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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Hallo FearlessFarmer,
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> Bestimme. für welchen Wert des Parameters a > 0 die von den
> Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche der
> Inhalt A hat.
>
> f(x) = [mm]x^2
[/mm]
> g(x) = [mm]-ax^2+2a^2
[/mm]
>
> A = 4,5 FE
>
Wenn du die von zwei Funktionsgraphen eingeschlossene Fläche berechnen willst, musst du zunächst feststellen, an welchen Stellen sich die beiden Graphen schneiden, also:
f(x)=g(x), hier also: [mm] $x^2 [/mm] = [mm] -ax^2+2a^2 \rightarrow x_1 \, x_2$
[/mm]
Du wirst für x zwei Werte herausbekommen, in denen noch der Parameter a vorkommt.
Anschließend bildest du das Integral
[mm] $\int_{x_1}^{x_2} [/mm] {(g(x)-f(x)) dx}$, weil g oberhalb von f liegt (sonst wäre es umgekehrt).
Der Wert dieses Integrals soll nun A = 4,5 betragen.
Also setzt du [mm] $\int_{x_1}^{x_2} [/mm] {(g(x)-f(x)) dx}=4,5$ und rechnest a aus.
Probier's mal und zeig uns deine Ergebnisse.
Viel Erfolg!
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Erst mal danke für die Antworten. Alles ist mir schon soweit klar,
allerdings habe ich keine Ahnung wie ich das a ausrechnen soll, wenn ich die Schnittpunkte der beiden Graphen haben möchte.
(Achtung in meiner Frage oben hatte ich mich vertippt, hier sind die beiden richtigen Gleichungen)
[mm] x^2=-ax+2a^2
[/mm]
Wie löse ich das denn nach a auf?
Das ist irgendwie mein Hauptproblem
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 So 14.11.2004 | | Autor: | Astrid |
Hallo!
Du mußt diese Gleichung nicht nach a auflösen, sondern nach x! Immer wenn du mit einem Parameter (hier a) rechnen mußt, mußt du diesen behandeln wie eine einfache feste Zahl:
Wenn du nun als erstes die Schnittpunkte der Graphen berechnen willst, dann mußt du wie immer nach x auflösen:
Deine Gleichung ist
[mm]x^2=-ax+2a^2[/mm], also
[mm]x^2+ax-2a^2=0[/mm]
Jetzt mußt du die p-q-Formel nutzen, da du eine quadratische Gleichung hast. Was ist nun p und q? Anstatt einer einfachen Zahl hast du hier
[mm]p=a[/mm] und [mm]q=-2a^2[/mm].
Deine Schnittpunkte sind also abhängig von a! (Da mit jedem anderen a die Funktion natürlich auch anders aussieht!)
[mm]x_{1,2}=- \bruch{a}{2} \pm \wurzel{\bruch{a^2}{4}-(-2a^2)}
=- \bruch{a}{2} \pm \wurzel{\bruch{a^2+8*a^2}{4}}
=- \bruch{a}{2} \pm \wurzel{\bruch{9*a^2}{4}}
=- \bruch{a}{2} \pm \bruch{3*a}{2}}[/mm]
Die Schnittpunkte liegen bei
[mm]x_1=a[/mm] und [mm]x_2=- 2a[/mm].
Kommst du jetzt allein weiter?
Es soll ja gelten:
[mm]4,5=\integral_{-2a}^{a} -ax+2a^2-x^2 \, dx[/mm]
(Ist dir klar, warum? Das solltest du verstehen!)
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen! Ansonsten einfach weiterfragen, wenn du nicht mehr weiterkommst!
Gruß,
Astrid
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