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Anwendungsaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 So 15.04.2007
Autor: kaktus1304

Aufgabe
Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse in O und schneidet sie in P (6|0) unter einem Winkel von 45°. Welche Fläche schließt die Parabel mit der Tangente in P ein?

Hallo ihr Lieben, bin gerade voll am verzweifeln. Ich komm nicht dahinter, wie ich die Parabel rekonstruieren soll, um die Fläche auszurechnen.

[mm] y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}^+cx+d [/mm]
[mm] f'(x)=3ax^{2}+2bx+c [/mm]
f''(x)=6ax+2b

Und wenn ich P in f(x) einsetze erhalte ich d=6. Außerdem habe ich mir überlegt, dass f'(x)=0 im Punkt O. Aber da bin ich mir nicht so sicher.
Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich jetzt weiterkommen kann?
LG, kaktus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anwendungsaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 So 15.04.2007
Autor: hase-hh

moin kaktus,

> Eine Parabel 3. Ordnung berührt die x-Achse in O und
> schneidet sie in P (6|0) unter einem Winkel von 45°. Welche
> Fläche schließt die Parabel mit der Tangente in P ein?
>  Hallo ihr Lieben, bin gerade voll am verzweifeln. Ich komm
> nicht dahinter, wie ich die Parabel rekonstruieren soll, um
> die Fläche auszurechnen.
>  
> [mm]y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}^+cx+d[/mm]
>  [mm]f'(x)=3ax^{2}+2bx+c[/mm]
>  f''(x)=6ax+2b
>  
> Und wenn ich P in f(x) einsetze erhalte ich d=6. Außerdem
> habe ich mir überlegt, dass f'(x)=0 im Punkt O. Aber da bin
> ich mir nicht so sicher.
>  Hat jemand vielleicht einen Tipp, wie ich jetzt
> weiterkommen kann?
>  LG, kaktus

also zunächst, denke ich, ist mit O der Ursprung (0/0) gemeint. Dann wäre d=0

bei x=6 soll f(x)=0 sein, d.h. in P liegt eine Nullstelle vor:

0= [mm] a*6^3 +b*6^2 [/mm] +c*6 +0

hast du schon mal eine gleichung.

f'(6)= 1        tan 45°=1  m.E.

1 = [mm] 3*a*6^2 [/mm] + 2*b*6 + c

hast du schon mal die zweite gleichung

und jetzt fehlt nur noch die dritte gleichung...

erstmal bis dahin... vielleicht kommst du jetzt weiter?

achso, wenn die funktion die x-achse in O (0/0) berührt, dann ist die steigung hier gleich null (es liegt hier ein HP oder TP vor)

gruß
wolfgang



Bezug
                
Bezug
Anwendungsaufgabe: Ergebnisse
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:19 So 15.04.2007
Autor: MarinaS

Ich weiß nicht genau, ob das alles so richtig ist. Aber eigentlich müsstest du wenn du so rechnest auf die folgenden Ergebniss kommen:
Die Funktion dritten Grades lautet:
f(x)= [mm] \bruch{1}{36} x^{3} [/mm] -  [mm] \bruch{1}{6} x^{2} [/mm]
Die Gerade durch den Punkt P mit der Steigung tan 45° = 1 = m lautet:
g(x) = x -6
Die Schnittpunkte von f(x) und g(x) sind bei [mm] P_{1} [/mm] ( -6 / -12 ) und bei
[mm] P_{2} [/mm] ( 6 / 0 ).
Also muss man nur noch das Integral wie folgt bestimmen, damit man weiß, welche Fläche die Gerade mit der der Funktion 3. Grades einschließt.

[mm] \integral_{-6}^{6}{g(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{-6}^{6}{f(x) dx} [/mm] = 72 - 24 = 48

Bezug
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