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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 Do 19.12.2013 | | Autor: | hula |
HiHio
Ich habe eine Frage zu einem Satz in meinem Buch. Wir haben zwei Matrizen $A$ [mm] ($p\times [/mm] k$) und $B$ [mm] $(p\times [/mm] $) gegeben, wobei $B$ invertiertbar ist. Nun wird gesagt, dass die Bedingung
[mm] $A^T B^{-1}A$
[/mm]
Soll diagonal sein, führt genau [mm] $\frac{1}{2}k(k-1)$ [/mm] Bedingungen ein. Wieso ist dies so?
Danke und Gruss
hula
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Do 19.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also du hast eine $(k [mm] \times [/mm] k)$-Matrix. Das gibt dir ja erst einmal [mm] $k^2$ [/mm] Bedingungen, weil die Ergebnismatrix [mm] C=A^tB^{-1}A [/mm] eben [mm] $k^2$ [/mm] Einträge hat. Die Diagonaleinträge sin jedoch egal, aber alle anderen Einträge müssen 0 sein. Das liefert dir dann [mm] $k^2-k=k(k-1)$ [/mm] Gleichungen.
Nun wird behauptet, dass aber schon die Hälfte ausreicht. [mm] $\frac{1}{2}k(k-1)=1+2+3+4+...+(k-1)$, [/mm] das ist genau die Anzahl an Elementen, die z.B. oberhalb der Hauptdiagonalen sind. Wieso reicht es aus, wenn man z.B. nur die obere Hälfte der Einträge anguckt? Du kannst es herausfinden, indem du die Einträge auf C aufschreibst (mit Summenzeichen und so).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:54 Do 19.12.2013 | | Autor: | hula |
Hallo Teufel
Danke für deine schnelle Rückmelung. Ist es nicht, da wir eine symmetrische Matrix haben?
Gruss
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 19.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Ah sorry, ich sehe gerade, dass das nicht ganz stimmig ist. Sind noch mehr Infos über $A$ und $B$ bekannt? Denn die Einträge in $C$ müssen nicht unbedingt nur [mm] \frac{k(k-1)}{2} [/mm] Bedingungen liefern...
Sorry ich hab da etwas zu einfach gedacht. Könnte auch an der Uhrzeit liegen... (2:37am hier :p)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Fr 20.12.2013 | | Autor: | hula |
Hallo teufel / ullim
Man weiss noch, dass $B$ selber eine Diagonalmatrix ist. Hilf das weiter?
Gruss
hula
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:53 Fr 20.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo teufel / ullim
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> Man weiss noch, dass [mm]B[/mm] selber eine Diagonalmatrix ist. Hilf
> das weiter?
Wenn B eine Diagonalmatrix ist, so ist [mm] $A^TB^{-1}A$ [/mm] symmetrisch.
FRED
>
> Gruss
>
> hula
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:47 Fr 20.12.2013 | | Autor: | Teufel |
Ah ok, ja das Detail ist wichtig. WIe fred sagte, dann ist C symmetrisch und du musst nicht alle Einträge 0 setzen, sondern die Hälfte reicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 19.12.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
soll das nicht [mm] \bruch{1}{2}k\left(k+1\right) [/mm] heissen.
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