Anzahl Lösungen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:40 Mo 05.10.2009 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | Ein System linearer Gleichungen kann niemals genau zwei Lösungen haben. Warum nicht?
Folgende Anhaltspunkte:
1. Wenn [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} [/mm] verschiedene Lösungen sind, welche Lösungen gibt es dann noch?
2. Wenn 25 Ebenen zwei Punkte gemeinsam haben, welche Punkte haben sie dann noch gemeinsam? |
Hallo Zusammen,
wenn man die linearen Gleichungen geometrisch betrachtet, je nach Dimension unterschiedliche Anzahl von Komponenten der Vektoren, so ist doch jeder Punkt der Ebene bzw. des Raumens eindeutig. Somit kann auch nur genau eine Lösung geben.
Wenn nun also [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} [/mm] verschiedene Lösungen sind, dann gibt es noch eine weitere und zwar [mm] \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.
[/mm]
Diese drei Lösungen beschreiben exakt einen Punkt im Raum, in dem sich alle Ebenen schneiden.
Wenn nun aber 25 Ebenen zwei Punkte gemeinsam haben, müssten sich doch identisch sein, je nach Lage im Raum (windschief), also gibt es unendlich viele Lösungen und die 25 Ebenen haben unendlich viele Punkte gemeinsam.
Liege ich mit meinen Vermutungen richtig oder völlig daneben?
Gruß
itse
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> Ein System linearer Gleichungen kann niemals genau zwei
> Lösungen haben. Warum nicht?
>
> Folgende Anhaltspunkte:
>
> 1. Wenn [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm] und
> [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
> verschiedene Lösungen sind, welche Lösungen gibt es dann
> noch?
>
> 2. Wenn 25 Ebenen zwei Punkte gemeinsam haben, welche
> Punkte haben sie dann noch gemeinsam?
> Hallo Zusammen,
>
> wenn man die linearen Gleichungen geometrisch betrachtet,
> je nach Dimension unterschiedliche Anzahl von Komponenten
> der Vektoren, so ist doch jeder Punkt der Ebene bzw. des
> Raumens eindeutig. Somit kann auch nur genau eine Lösung
> geben.
Hallo,
ich kann Deinen Überlegungen nur schlecht folgen.
Sagst Du gerade, dasß jedes lineare Gleichungssystem nur eine Lösung hat? Das stimmt nicht.
>
> Wenn nun also [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> und [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
> verschiedene Lösungen sind, dann gibt es noch eine weitere
> und zwar [mm]\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.[/mm]
Was soll [mm] \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix} [/mm] sein, wie sieht diese weitere Lösung aus?
>
> Diese drei Lösungen beschreiben exakt einen Punkt im Raum,
> in dem sich alle Ebenen schneiden.
??? Diese drei Lösungen liefern drei Punkte im Raum, welche alle Gleichungen des Systems lösen.
>
> Wenn nun aber 25 Ebenen zwei Punkte gemeinsam haben,
> müssten sich doch identisch sein, je nach Lage im Raum
> (windschief), also gibt es unendlich viele Lösungen und
> die 25 Ebenen haben unendlich viele Punkte gemeinsam.
Die 25 Ebenen können auch unendlich viele Punkte gemeinsam haben, ohne identisch zu sein. (Denk an die Seiten eines Buches: der Buchrücken ist die Schnittgerade.)
Wir haben also folgende Situation:
gegeben ist ein LGS [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] , welches von den Vektoren [mm] \vec{x_0} [/mm] und [mm] \vec{y_0} [/mm] gelöst wird.
Du könntest jetzt mal versuchen zu zeigen, daß [mm] \bruch{1}{2}(\vec{x_0} [/mm] und [mm] \vec{y_0}) [/mm] auch eine Lösung des Systems ist.
Als nächstes überlege Dir und zeige, daß jeder Punkt, der auf der Geraden durch [mm] \vec{x_0} [/mm] und [mm] \vec{y_0} [/mm] liegt, das System löst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Di 06.10.2009 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
ein LGS kann nun:
1. keine Lösung
2. genau eine Lösung
3. unendliche viele Lösungen
haben.
> > Wenn nun also [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> > und [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
> > verschiedene Lösungen sind, dann gibt es noch eine weitere
> > und zwar [mm]\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> Was soll [mm]\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}[/mm]
> sein, wie sieht diese weitere Lösung aus?
Ich hatte mir gedacht, die beiden angegebenen Lösungsvektoren haben drei Komponenten, somit dreidimensionaler Raum. Also müsste das System aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten bestehen, damit es zumindest nicht unterbestimmt ist. Liege ich damit falsch?
> Wir haben also folgende Situation:
>
> gegeben ist ein LGS [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] , welches von den
> Vektoren [mm]\vec{x_0}[/mm] und [mm]\vec{y_0}[/mm] gelöst wird.
>
> Du könntest jetzt mal versuchen zu zeigen, daß
> [mm]\bruch{1}{2}(\vec{x_0}[/mm] und [mm]\vec{y_0})[/mm] auch eine Lösung des
> Systems ist.
Behauptung: A [mm] \cdot{}\bruch{1}{2}(\vec{x_0} [/mm] + [mm] \vec{y_0})=\vec{b}
[/mm]
Nur fällt mir nichts ein, wie ich das zeigen könnte. Vielleicht über Determinanten?
Entschuldige, bin leider ziemlich ratlos
Gruß
itse
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> Guten Morgen,
>
> ein LGS kann nun:
> 1. keine Lösung
> 2. genau eine Lösung
> 3. unendliche viele Lösungen
>
> haben.
Hallo,
ja.
Und Du sollst hier zeigen, daß das wirklich so ist.
Also: wenn es zwei verschiedene Lösungen gibt, dann gibt es unendlich viele.
>
>
> > > Wenn nun also [mm]\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> > > und [mm]\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}[/mm]
> > > verschiedene Lösungen sind, dann gibt es noch eine weitere
> > > und zwar [mm]\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}.[/mm]
>
> >
> > Was soll [mm]\begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{pmatrix}[/mm]
> > sein, wie sieht diese weitere Lösung aus?
>
> Ich hatte mir gedacht, die beiden angegebenen
> Lösungsvektoren haben drei Komponenten, somit
> dreidimensionaler Raum. Also müsste das System aus drei
> Gleichungen mit drei Unbekannten bestehen, damit es
> zumindest nicht unterbestimmt ist. Liege ich damit falsch?
Hallo,
wenn ein GS mit drei Variablen genau eine Lösung haben soll, braucht's dazu mindestens drei Gleichungen. Falls Du das meintest, dann stimmt's.
Du sollst jetzt aber davon ausgehen, daß das Gleichungssystem zwei verschiedene Lösungen [mm] \vec{x_0} [/mm] und [mm] \vec{y_0} [/mm] hat.
>
> > Wir haben also folgende Situation:
> >
> > gegeben ist ein LGS [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] , welches von den
> > Vektoren [mm]\vec{x_0}[/mm] und [mm]\vec{y_0}[/mm] gelöst wird.
(Nur nochmal zur Sicherheit: A ist die Koeffizientenmatrix des GS.)
> >
> > Du könntest jetzt mal versuchen zu zeigen, daß
> > [mm]\bruch{1}{2}(\vec{x_0}[/mm] und [mm]\vec{y_0})[/mm] auch eine Lösung des
> > Systems ist.
>
> Behauptung: A [mm]\cdot{}\bruch{1}{2}(\vec{x_0}[/mm] +
> [mm]\vec{y_0})=\vec{b}[/mm]
>
> Nur fällt mir nichts ein, wie ich das zeigen könnte.
Durch Anwenden dessen, was Du über die Matrixmultiplikation weißt.
Also erstmal ausmultiplizieren, konstanten Faktor vorziehen und berücksichtigen, daß die Vektoren [mm] \vec{x_0}[/mm] [/mm] und [mm][mm] \vec{y_0} [/mm] Lösungen von [mm] A\vec{x}=\vec{b} [/mm] sind.
Was ist also [mm] A\vec{x_0} [/mm] und [mm] A\vec{y_0}?
[/mm]
Mal anschaulich: wenn zwei Ebenen zwei Punkte gemeinsam haben, dann lhaben sie auch den Punkt, der genau in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt, gemeinsam - und viele andere auch.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:38 Mi 07.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
ich soll bei der Aufgabe doch zeigen bzw. berücksichtigen das ein LGS zwei Lösungen hat. Hierbei gibt es doch dann zwei Ergebnisse, es ist falsch bzw. es gibt mehr als zwei Punkte die das LGS lösen, nämlich undendlich viele.
Nochmals bezogen auf die zwei Anhaltspunkte:
1. Wenn $ [mm] \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] $ und $ [mm] \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix} [/mm] $ verschiedene Lösungen sind, welche Lösungen gibt es dann noch?
2. Wenn 25 Ebenen zwei Punkte gemeinsam haben, welche Punkte haben sie dann noch gemeinsam?
Bei beiden Fragen es doch die selbst Antwort, unendlich viele Lösungen bzw. Punkte?
Wenn wir nun im dreidimensionalen Raum sind, und das LGS nur eine Lösung hat, schneiden sich doch alle drei Ebenen in diesem Punkt, dieser ist der Lösungsvektor?
> > > Du könntest jetzt mal versuchen zu zeigen, daß
> > > [mm]\bruch{1}{2}(\vec{x_0}[/mm] und [mm]\vec{y_0})[/mm] auch eine Lösung des
> > > Systems ist.
> >
> > Behauptung: A [mm]\cdot{}\bruch{1}{2}(\vec{x_0}[/mm] +
> > [mm]\vec{y_0})=\vec{b}[/mm]
> >
> > Nur fällt mir nichts ein, wie ich das zeigen könnte.
>
> Durch Anwenden dessen, was Du über die
> Matrixmultiplikation weißt.
> Also erstmal ausmultiplizieren, konstanten Faktor vorziehen
> und berücksichtigen, daß die Vektoren [mm]\vec{x_0}[/mm][/mm] und
> [mm][mm]\vec{y_0}[/mm] Lösungen von [mm]A\vec{x}=\vec{b}[/mm] sind.
Was ist also [mm]A\vec{x_0}[/mm] und [mm]A\vec{y_0}?[/mm]
Okay,
[mm] \bruch{1}{2} \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[ a(x_1+y_1)+b(x_1+y_1)+c(x_1+y_1)] [/mm] = [mm] b_1
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[ d(x_2+y_2)+e(x_2+y_2)+f(x_2+y_2)] [/mm] = [mm] b_2
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[ g(x_3+y_3)+h(x_3+y_3)+i(x_3+y_3)] [/mm] = [mm] b_3
[/mm]
Nun komme ich aber nicht darauf, wie ich [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] als Lösungsvektoren berücksichtigen soll? Denn es müsste unendlich viele geben, alle innerhalb einer bestimmten Ebene.
Hilft vielleicht [mm] x_0 [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] b und [mm] y_0 [/mm] = [mm] A^{-1} [/mm] b weiter?
Vielen Dank
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Seien [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] Lösungen des LGS Ax = b.
[mm] $z_0:= \bruch{1}{2}x_0+\bruch{1}{2}y_0$
[/mm]
Dann:
[mm] $Az_0 [/mm] = [mm] A(\bruch{1}{2}x_0+\bruch{1}{2}y_0) =\bruch{1}{2}Ax_0+\bruch{1}{2}Ay_0= \bruch{1}{2}b+\bruch{1}{2}b=b$
[/mm]
Somit ist [mm] z_0 [/mm] Lösung des LGS
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mi 07.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo,
damit hat man auch gezeigt, dass es eine dritte Lösung ($ [mm] z_0:= \bruch{1}{2}x_0+\bruch{1}{2}y_0 [/mm] $)gibt.
Somit wäre der nächste Schritt:
Zitat angela:
Als nächstes überlege Dir und zeige, daß jeder Punkt, der auf der Geraden durch $ [mm] \vec{x_0} [/mm] $ und $ [mm] \vec{y_0} [/mm] $ liegt, das System löst.
Könnte man dies so zeigen:
Ich nehme [mm] x_0 [/mm] als Aufpunkt und [mm] (y_0 [/mm] - [mm] x_0) [/mm] als Richtungsvektor, damit kann jeder Punkt der Geraden, die durch die beiden Punkte [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] erzeugt wird, erreicht werden.
w := [mm] x_0 [/mm] + [mm] \lambda (y_0 [/mm] - [mm] x_0), \lambda \in \IR
[/mm]
Jeder Punkt w löst das Gleichungssystem Ax = b:
Aw = [mm] A(x_0 [/mm] + [mm] \lambda (y_0 [/mm] - [mm] x_0)) [/mm] = [mm] Ax_0 [/mm] + [mm] \lambda Ay_0 [/mm] - [mm] \lambda Ax_0 [/mm] = [mm] Ax_0 (1-\lambda) [/mm] + [mm] \lambda Ay_0 [/mm] = b [mm] (1-\lambda) [/mm] + [mm] \lambda [/mm] b = b - [mm] \lambda [/mm] b + [mm] \lambda [/mm] b = b
Somit sind alle Punkte die auf der Geraden w liegen, Lösungen des Systems.
-> Das LGS Ax = b hat somit unendlich viele Lösungen, kann also nie genau zwei Lösungen haben.
Habe ich es so richtig gezeigt ("bewiesen)?
Wie kommt man eigentlich darauf, aus den beiden Punkte [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] einen neuen Punkt zu erzeugen, um dann zu zeigen, dass dieser auch eine Lösung des LGS ist?
Gruß
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:13 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> damit hat man auch gezeigt, dass es eine dritte Lösung ([mm] z_0:= \bruch{1}{2}x_0+\bruch{1}{2}y_0 [/mm])gibt.
>
> Somit wäre der nächste Schritt:
>
> Zitat angela:
> Als nächstes überlege Dir und zeige, daß jeder Punkt,
> der auf der Geraden durch [mm]\vec{x_0}[/mm] und [mm]\vec{y_0}[/mm] liegt,
> das System löst.
>
> Könnte man dies so zeigen:
>
> Ich nehme [mm]x_0[/mm] als Aufpunkt und [mm](y_0[/mm] - [mm]x_0)[/mm] als
> Richtungsvektor, damit kann jeder Punkt der Geraden, die
> durch die beiden Punkte [mm]x_0[/mm] und [mm]y_0[/mm] erzeugt wird, erreicht
> werden.
>
> w := [mm]x_0[/mm] + [mm]\lambda (y_0[/mm] - [mm]x_0), \lambda \in \IR[/mm]
>
> Jeder Punkt w löst das Gleichungssystem Ax = b:
>
> Aw = [mm]A(x_0[/mm] + [mm]\lambda (y_0[/mm] - [mm]x_0))[/mm] = [mm]Ax_0[/mm] + [mm]\lambda Ay_0[/mm] -
> [mm]\lambda Ax_0[/mm] = [mm]Ax_0 (1-\lambda)[/mm] + [mm]\lambda Ay_0[/mm] = b
> [mm](1-\lambda)[/mm] + [mm]\lambda[/mm] b = b - [mm]\lambda[/mm] b + [mm]\lambda[/mm] b = b
>
> Somit sind alle Punkte die auf der Geraden w liegen,
> Lösungen des Systems.
>
> -> Das LGS Ax = b hat somit unendlich viele Lösungen, kann
> also nie genau zwei Lösungen haben.
>
> Habe ich es so richtig gezeigt ("bewiesen)?
>
Ja !
FRED
> Wie kommt man eigentlich darauf, aus den beiden Punkte [mm]x_0[/mm]
> und [mm]y_0[/mm] einen neuen Punkt zu erzeugen, um dann zu zeigen,
> dass dieser auch eine Lösung des LGS ist?
>
> Gruß
> itse
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Mi 07.10.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich würde dennoch gerne wissen, wie man darauf eigentlich kommt, aus den beiden Punkte $ [mm] x_0 [/mm] $ und $ [mm] y_0 [/mm] $ einen neuen Punkt zu erzeugen, um dann zu zeigen, dass dieser auch eine Lösung des LGS ist?
Warum gerade [mm] \bruch{1}{2}(x_0 [/mm] + [mm] y_0) [/mm] und nicht [mm] \bruch{1}{4}(x_0 [/mm] + [mm] y_0) [/mm] ?
Grüße
itse
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Mi 07.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Mit t,s [mm] \in \IR [/mm] mach mal den Ansatz
[mm] $z_0 [/mm] = [mm] t*x_0+s*y_0$
[/mm]
Dann ist
[mm] $Az_0 [/mm] = [mm] tAx_0+sAy_0 [/mm] = tb+sb= (t+s)b$
D.h.: [mm] z_0 [/mm] ist Lösung des LGS Ax = b [mm] \gdw [/mm] t+s=1.
FRED
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