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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 So 04.07.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | [mm] f(z)=z^6-5z^4+3z^2-1 [/mm] |
Hallo.
Die Aufgabe ist, die Anzahl der Nullstellen f in [mm] \overline{B_1(0)} [/mm] zu bestimmen.
Ich bin mir bei meiner Lösung nicht ganz sicher und wäre froh, wenn jemand mal drüber schauen könnte.
[mm] f(z)=g(z^2) [/mm] mit [mm] g(z)=z^3-5z^2+3z-1
[/mm]
(die Nullstellen von g lassen sich scheinbar durch Radikale bestimmen, das kann ich aber nicht, weil wir das nicht hatten)
Die Abbildung z [mm] \mapsto z^2 [/mm] bildet [mm] \overline{B_1(0)} [/mm] auf sich selbst ab. Also erzeugt jede Nullstelle [mm] z_0 [/mm] von g in [mm] B_1(0) [/mm] zwei Nullstellen [mm] \pm\sqrt{z_0} [/mm] von f.
Untersuche g auf Nst auf dem Rand von [mm] B_1(0). [/mm] Aus den Bedingungen [mm] (1)z^3-5z^2+3z-1=0, [/mm] (2)|z|=1 erhalte ich durch umformen und einsetzen etc. nach einiger Rechnung, dass g keine Nullstellen auf dem Rand [mm] B_1(0) [/mm] haben kann, also hat f auf dem Rand von [mm] B_1(0) [/mm] keine Nullstellen.
Definiere [mm] h(z)=z^3-5z^2, [/mm] k(z)=3z-1. Für alle z mit |z|=1 gilt die Abschätzung |k(z)| [mm] \le [/mm] 4 [mm] \le [/mm] |h(z)| (Dreiecksungleichungen). Es ist |k(z)|=4 [mm] \Leftrightarrow [/mm] z=-1 (nachrechnen). Da |h(-1)|=6 gilt also für alle z mit |z|=1, dass |k(z)|<|h(z)|. Nach Rouche gilt dann, dass die Anzahl der Nullstellen von g in [mm] B_1(0) [/mm] gleich der Anzahl der Nullstellen von h ist. h hat in [mm] B_1(0) [/mm] genau 2 Nst (nämlich 0 zweifach, 5 liegt nicht in [mm] B_1(0). [/mm]
Da jede Nst von g zwei Nst von f erzeugt, hat f genau 4 Nst in [mm] \overline{B_1(0)}.
[/mm]
Stimmt das so? Oder geht es noch kürzer bzw leichter?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen!
lg moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 08.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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