Anzahl Schnittpunkte über m < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Lolli |
Gegeben sei die Kurve K mit der Gleichung y= lnx (x>0) und die Gerade y=mx m Element der reelen Zahlen.
Zu Untersuchen ist die Anzahl der gemeinsamen Punkte von K und der Geraden in Abhängigkeit von m.
Könnte mir dabei bitte jemand helfen. Hab zwar schon einpaar Ansätze, aber die haben weder Hand noch Fuß.
Des Weitern soll man dann für m = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] die Richtigkeit des Ergebnisse mit Hilfe des Nullstellensatzes beweisen und ich hab keine Ahnung wie das funzt.
Danke schon mal im Voraus für die Hilfe!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:37 Sa 26.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Lolli,
> Gegeben sei die Kurve K mit der Gleichung y= lnx (x>0)
> und die Gerade y=mx m Element der reelen Zahlen.
>
> Zu Untersuchen ist die Anzahl der gemeinsamen Punkte von K
> und der Geraden in Abhängigkeit von m.
>
> Könnte mir dabei bitte jemand helfen. Hab zwar schon
> einpaar Ansätze, aber die haben weder Hand noch Fuß.
Schade, dass du die nicht angegeben hast. Vielleicht hätte man damit weiter arbeiten können.
Bei solchen Aufgaben würde ich immer eine Zeichnung mit unterschiedlichen Ursprungsgerade machen. Die liefert einme sehr oft Ideen für einen Ansatz. Vielleicht zeichnest du auch die Tangente durch den Ursprung ein. Die hat ja einen gemeinsamen Punkt mit der Kurve (Der Graph von y=ln(x) ist ja überall rechtsgekrümmt).
>
>
> Des Weitern soll man dann für m = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] die
> Richtigkeit des Ergebnisse mit Hilfe des Nullstellensatzes
> beweisen und ich hab keine Ahnung wie das funzt.
Hier untersucht du die Funktion
[mm] f(x) = \ln(x)\ -\ \bruch{1}{3}\ x [/mm]
Wenn du jetzt eine Stelle [mm] x_1 [/mm] findest mit [mm] f(x_1)<0 [/mm] und eine andere [mm] x_2 [/mm] mit [mm] f(x_2) [/mm] > 0, dann sagt der Nullstellensatz, dass dazwischen mindestens eine Nullstelle von f liegt, das ist dann eine Schnittstelle von der Logarithmuskurve und der Geraden.
Versuch's mal.
Gruß
Sigrid
>
> Danke schon mal im Voraus für die Hilfe!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 So 27.11.2005 | | Autor: | Lolli |
Danke Sigrid für die schnelle Antwort.
Also ich hab's mal mit der Zeichnung versucht, wie du es gesagt hast.
Dann hab ich die verschieden Fälle aufgestellt, also wann es eine, wann zwei oder wann es keine Lösung gibt.
Hab mir über Ableitung usw. als Lösung für einen Schnittpunkt ermittelt: [mm] m=\bruch{1}{e}.
[/mm]
Wenn jetzt [mm] m>\bruch{1}{e} [/mm] haben beide Kurven keinen Schnittpunkt.
Nach einem Blick auf meine Skizze, hab ich dann auch festgestellt, wenn m [mm] \le [/mm] 0 dann müsste es auch nur eine LÖsung geben für den Schnitt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob 0 die richtige Grenze ist.
0 wäre die Grenze, wenn lineares Wachstum stärker ist als logarithmisches. Ist das richtig?
Wenn 0 die Grenze ist dann folgt daraus, dass es für 0 < m < e 2 Schnittpunkte gibt.
Ist das erstmal soweit richtig?
Wie kann man das jetzt rechnerisch lösen?
Wenn mir das bitte jemand beantworten könnte, wäre ich dankbar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 27.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Lolli
Du hast fast alles richtig, und dich am Ende wohl nur verschrieben.
> Danke Sigrid für die schnelle Antwort.
> Also ich hab's mal mit der Zeichnung versucht, wie du es
> gesagt hast.
> Dann hab ich die verschieden Fälle aufgestellt, also wann
> es eine, wann zwei oder wann es keine Lösung gibt.
>
> Hab mir über Ableitung usw. als Lösung für einen
> Schnittpunkt ermittelt: [mm]m=\bruch{1}{e}.[/mm]
>
> Wenn jetzt [mm]m>\bruch{1}{e}[/mm] haben beide Kurven keinen
> Schnittpunkt.
gut, richtig. Wenn du genau sein willst, musst du zeigen bzw. sagen, dass die Steigung von lnx nch dem Berührpkt nur noch kleiner wird.
> Nach einem Blick auf meine Skizze, hab ich dann auch
> festgestellt, wenn m [mm]\le[/mm] 0 dann müsste es auch nur eine
> LÖsung geben für den Schnitt. Ich bin mir aber nicht
> sicher, ob 0 die richtige Grenze ist.
doch, ist richtig! Argument m<0 Gerade geht durch 2. und 4. Quadrant, im4. Quadrant ist lnx für x<1 Tangente durch = Pkt nur x=0
> 0 wäre die Grenze, wenn lineares Wachstum stärker ist als
> logarithmisches. Ist das richtig?
Ich versteh nicht, was du hier meinst.
> Wenn 0 die Grenze ist dann folgt daraus, dass es für 0 < m
> < e 2 Schnittpunkte gibt.
hier muss am Ende 1/e stehen!
> Ist das erstmal soweit richtig?
> Wie kann man das jetzt rechnerisch lösen?
rechnerisch ist dabei nur deine Berechnung von 1/e als Grenze.
Der Rest sind Argumente mit der Steigung , also wenn du willst RRechnungen mit < und>.
Gruss leduart
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