Anzahl Versuche < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:48 Di 10.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | 60% der 12-19-Jährigen besitzen einen Farbfernseher. Für eine Umfrage werden mindestens 800 Jugendliche benötigt, die einen Farbfernseher besitzen.
Wie viele Jugendliche muss man befragen, wenn man mit mindestens 90% Sicherheit darunter mindestens 800 jugendliche Farbfernsehbesitzer haben möchte? |
Hallo,
hmm - hier bräuchte ich den Ansatz.
Also, die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt p = 0,6.
n ist gesucht.
Meine Idee:
Es geht hier um einen linksseitigen Test.
[ [mm] \mu [/mm] - [mm] 1,28*\sigma [/mm] ; n]
[mm] \mu [/mm] = 0,6*n
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \wurzel{0,6*n*0,4}
[/mm]
d.h. 0,6n - [mm] 1,28*\wurzel{2,4*n} [/mm] > 800
=> [mm] -1,28*\wurzel{2,4*n} [/mm] > 800 -0,6n
Quadrieren usw...
Oder gibt es einen anderen (einfacheren) Ansatz?
Normalverteilung? oder???
Danke & Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:22 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi hase-hh,
ich hätte jetzt zwar nicht Test dazu gesagt, sondern den Ansatz
X:Anz. mit Fernseher von (n Befragten)
n=gesucht
p=0,6
[mm] P(X\ge 800)\ge [/mm] 0,9 gemacht und komme dann mit der Nährung über die Normalverteilung genau zu dem was du auch hast, d.h. [mm] P(\bruch{X-\mu}{\sigma}\ge\bruch{800-\mu}{\sigma})\ge [/mm] 0,9. Quantil nachkucken usw.
Ich weiß jetzt nur grad nicht, ob man erst zu [mm] P(X\le 799)\le [/mm] 0,1 umformen und dann erst von der Binomialverteilung zur Stdnormalvert. übergehen sollte. Bin mir grad nicht sicher, was die genauere Methode ist, bzw ob es am Ende überhaupt was aus macht, weil man n ja eh aufrunden muß am Schluß.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Mi 11.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin,
ich habe mal beide Ansätze durchgerechnet.
I. 0,6*n - [mm] 1,28*\wurzel{2,4*n} [/mm] > 800
- [mm] 1,28*\wurzel{2,4*n} [/mm] > 800 -0,6*n Quadrieren
1,6384*2,4*n > 640.000 - 960*n [mm] +0,36n^2
[/mm]
0 > [mm] 0,36*n^2 [/mm] -963,93216*n + 640.000
[mm] n_1 [/mm] = 1217,99 [mm] \approx [/mm] 1218
[mm] n_2 [/mm] = 1459,59 [mm] \approx [/mm] 1459
n muss also im Intervall [1218; 1459] liegen.
D.h. man muss mindestens 1218 Jugendliche befragen.
II. P(X>800) [mm] \ge [/mm] 0,9
1 - P(X [mm] \le [/mm] 800) [mm] \le [/mm] 0,1
0,9 [mm] \le [/mm] P(X [mm] \le [/mm] 800)
d.h. inkl. Stetigkeitskorrektur
[mm] \phi (\bruch{800+0,5 -0,6*n}{\wurzel{2,4*n}}) \ge [/mm] 0,9
Da [mm] \phi [/mm] (1,28) [mm] \approx [/mm] 0,9 ist =>
[mm] \bruch{800+0,5 -0,6*n}{\wurzel{2,4*n}} [/mm] = 1,28
800,5 -0,6*n = [mm] 1,28*\wurzel{2,4*n} [/mm] Quadrieren
640.800,25 - 960,6*n [mm] +0,36*n^2 [/mm] = 1,6384*2,4*n
640.800,25 - 960,6*n [mm] +0,36*n^2 [/mm] = 3,93216*n
[mm] 0,36*n^2 [/mm] -964,53216*n + 640.000,25 = 0
[mm] n_1 [/mm] = 1217,07 [mm] \approx [/mm] 1218
[mm] n_2 [/mm] = 1462,53 [mm] \approx [/mm] 1462
n muss also im Intervall [1218;1462] liegen.
D.h. man muss mindestens 1218 Jugendliche befragen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
wie kommst Du bei Deinem urspr. Test auf
[mm] $\mu [/mm] - [mm] 1.28\sigma?$
[/mm]
Ich nehm mal an, Ihr habt nen Gaußtest konstruiert und damit hast Du da die gleiche Normalapproximation wie in der 2. Rechnung, also kommt auch das gleiche raus.
> I. 0,6*n - $ [mm] 1,28\cdot{}\wurzel{2,4\cdot{}n} [/mm] $ > 800
wieso 2.4?
> D.h. man muss mindestens 1218 Jugendliche befragen.
bei 1218 Befragungen erwarten wir
1218*0.6 = 730.8
Fernseher.
Damit ist selbst der Erwartungswert unter 800, von 90%iger Sicherheit ganz zu schweigen.
Immer die einfachen Plausibilitätstests machen:
Ergibt mein Ergebnis Sinn?
Antwort hier: Nein.
Folgerung: Ich hab nen Fehler (nämlich: 0.6*0.4 kann nicht >1 sein. Schon gar nicht 2.4) =)
> II. P(X>800) $ [mm] \ge [/mm] $ 0,9
> 1 - P(X $ [mm] \le [/mm] $ 800) $ [mm] \le [/mm] $ 0,1
> 0,9 $ [mm] \le [/mm] $ P(X $ [mm] \le [/mm] $ 800)
Hier hast Du in 2 Zeilen aus
[mm] $P(X>800)\geq [/mm] 0.9$
[mm] $P(X\leq [/mm] 800) [mm] \geq [/mm] 0.9$
gemacht... =)
Also:
Die [mm] $X_n$ [/mm] sind binomialverteilt mit Erfolgswkeiten 0.6 und n Wiederholungen.
Gesucht ist n, so daß
[mm] $P(X_n\geq 800)\geq [/mm] 0.9$
(mindestens 800, nicht mehr als 800)
[mm] $P(X_n \leq [/mm] 799) [mm] \leq [/mm] 0.1$
Jetzt Normalapproximation oder Computer:
| 1: | > n=1371
| | 2: | > pnorm(799.5, mean=0.6*n, sd=sqrt(0.24*n))
| | 3: | [1] 0.1014262
| | 4: | > n=1372
| | 5: | > pnorm(799.5, mean=0.6*n, sd=sqrt(0.24*n))
| | 6: | [1] 0.09576478
| | 7: |
| | 8: |
| | 9: | > pbinom(799, 1371, 0.6)
| | 10: | [1] 0.1016182
| | 11: | > pbinom(799, 1372, 0.6)
| | 12: | [1] 0.09597357 |
d.h. mindestens 1372 Befragungen (und die Normalapproximation ist auf 2 Promille genau)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 Mi 11.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
Moin Stefan,
vielen Dank für deine Hinweise!
zu I.
Ich kann nachvollziehen, dass 0,6*0,4 =0,24 ist.
Die [mm] 1,28-\sigma-Umgebung [/mm] liefert ja das 80%-Konfidenzintervall bei zweiseitigen Tests, hier habe ich einen einseitigen Test, daher wird eine Hälfte des Ablehnungsbereiches (zweiseitige Betrachtung) zum Annahmebereich des einseitigen Tests hinzugerechnet. Damit bekomme ich das 90%-Konfidenzintervall.
Rechnung
0,6*n [mm] -1,28*\wurzel{0,24*n} \ge [/mm] 800
[mm] -1,28*\wurzel{0,24*n} \ge [/mm] 800 -0,6*n Quadrieren
0,393216*n [mm] \ge [/mm] 640.000 -960*n [mm] +0,36*n^2 [/mm]
[mm] n^2 [/mm] -2667,76*n +1.777.777,78 [mm] \le [/mm] 0
[mm] n_1 [/mm] = 1333,88 - 38,18 [mm] \approx [/mm] 1296
[mm] n_2 [/mm] = 1333,88 + 38,18 [mm] \approx [/mm] 1372
D.h. mit 90% Sicherheitswahrscheinlichkeit muss ich mindestens 1296 Jugendliche befragen.
II. P(X [mm] \ge [/mm] 800) [mm] \ge [/mm] 0,9
1 - P(X < 800) [mm] \ge [/mm] 0,9
P(X [mm] \le [/mm] 799) [mm] \le [/mm] 0,1
[mm] \phi (\bruch{799+0,5 -0,6*n}{\wurzel{0,24*n}}) \le [/mm] 0,1
NV
1 - [mm] \phi [/mm] (1,28) = 0,1
[mm] \phi [/mm] (-1,28) = 0,1
-1,28 = [mm] \bruch{799,5 -0,6*n}{\wurzel{0,24*n}} [/mm]
0 = [mm] n^2 [/mm] -2666,09*n + 1.775.556,25
[mm] n_1 [/mm] = 1294,94 [mm] \approx [/mm] 1295
[mm] n_2 [/mm] = 1371,11 [mm] \approx [/mm] 1371
ciao
wolfgang
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 11.01.2012 | | Autor: | Blech |
> Die $ [mm] 1,28-\sigma-Umgebung [/mm] $ liefert ja das 80%-Konfidenzintervall bei zweiseitigen Tests,
Die Frage ist ja bei welchen Tests.
[mm] $1.28\sigma$ [/mm] gilt nur, wenn wir hier schon Normalverteilung annehmen.
> D.h. mit 90% Sicherheitswahrscheinlichkeit muss ich mindestens 1296 Jugendliche befragen.
Hast Du auch nur ein Wort von dem gelesen, was ich geschrieben habe?
1296*0.6 = ???
Wie zum Henker soll da der Wert die Grenze zum 90% Niveau sein?
> $ [mm] n_2 [/mm] $ = 1371,11 $ [mm] \approx [/mm] $ 1371
Die saubere Schlußfolgerung ist [mm] $n_2 [/mm] > 1371$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1372 werden benötigt.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Mi 11.01.2012 | | Autor: | hase-hh |
> > Die [mm]1,28-\sigma-Umgebung[/mm] liefert ja das
> 80%-Konfidenzintervall bei zweiseitigen Tests,
>
> Die Frage ist ja bei welchen Tests.
> [mm]1.28\sigma[/mm] gilt nur, wenn wir hier schon Normalverteilung
> annehmen.
>
>
> > D.h. mit 90% Sicherheitswahrscheinlichkeit muss ich
> mindestens 1296 Jugendliche befragen.
>
> Hast Du auch nur ein Wort von dem gelesen, was ich
> geschrieben habe?
Es wäre schön, wenn du solche unverschämten Bemerkungen unterlassen könntest. Meine ganze Antwort bezieht sich auf das, was du geschrieben hast.
Beide von mir angewandten Verfahren liefern das gleiche Konfidenzintervall!!
Und warum soll ich das denn nicht nehmen können?
> 1296*0.6 = ???
>
> Wie zum Henker soll da der Wert die Grenze zum 90% Niveau
> sein?
Warum soll ich das Konfidenzintervall nicht so konstruieren können???
Nur weil es etwas unterhalb des Erwartungswertes liegt? Für mich keine hinreichende Erklärung!
Ich will ja nur zu 90% sicher gehen, dass ich mindestens 800 Jugendliche mit Fernseher erwische.
> > [mm]n_2[/mm] = 1371,11 [mm]\approx[/mm] 1371
>
> Die saubere Schlußfolgerung ist [mm]n_2 > 1371[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm]
> 1372 werden benötigt.
Das mag ja sein, erschliesst sich mir aber immer noch nicht.
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