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Forum "Zahlentheorie" - Anzahl d. Ziffern einer Potenz
Anzahl d. Ziffern einer Potenz < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Anzahl d. Ziffern einer Potenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Do 08.04.2010
Autor: Raute1337

Aufgabe
"Dieser Test (ob es sich bei Mersenne-Zahlen, um Primzahlen handle) wurde 1876 von von dem französischen Mathematiker Édouard Lucas entdeckt, und er konnte damit zeigen, dass die Mersenne-Zahl [mm] 2^{127}-1 [/mm] tatsächlich eine Primzahl ist. Diese neununddreißigstellige Primzahl blieb bis zu Beginn des Computerzeitalters die größte bekannte Primzahl." (Quelle: Marcus du Sautoy - Die Musik der Primzahlen, Seite 253, Kapitel: "Das Computerzeitalter: Vom Kopf zum PC")

Guten Abend!
An dieser Stelle im genannten Buch habe ich nun kurz gestoppt, nicht weil ich mich ärgere, warum ein Verfahren zum lösen dieser Mersenne-Zahlen erwähnt wird, aber nicht genauer erleutert, sondern weil mich primär die Frage quält, ob man überhaupt herausbekommen kann, wieviele Ziffern/Stellen eine Potenz zu einer beliebigen Basis besitzt, ohne das Ergebnis dieser Potenz selbst zu kennen.

Beispielsweise wurde [mm] 2^{127}-1 [/mm] genannt mit der Information, dass diese Zahl 39 Stellen besitzt.

Also schrieb ich erstmal die Ergebnisse aller Potenzen zur Basis 2 auf, um vielleicht ein "Muster" zu erkennen. Vergeblich. Und darüberhinaus wäre dieses "Muster" dann auch leider nur für Potenzen zur Basis 2 gültig.

Nun frage ich mich, gibt es ein Schema, um die Stellenanzahl jeder beliebigen Potenz herauszubekommen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Anzahl d. Ziffern einer Potenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:15 Do 08.04.2010
Autor: leduart

Hallo
[mm] 2^{10}=1024\approx 10^3 [/mm]  Fehler 2,4$
damit [mm] 2^{130}=(2^{10})^{13} \approx10^{39} [/mm] Fehler ca 2,4*13%
Damit kann man as immer bis auf eine Stelle abschätzen.
Ich glaub nicht, dass man das so schön in nem anderen System kann es seiden man hat eben [mm] p^x\approx 10^y [/mm]
Gruss leduart

Bezug
                
Bezug
Anzahl d. Ziffern einer Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:42 Do 08.04.2010
Autor: Raute1337

Vielen Dank leduart!
Die Umrechnung ins Dezimalsystem ist für Abschätzungen wohl am sinnvollsten.

Bezug
                
Bezug
Anzahl d. Ziffern einer Potenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 Do 08.04.2010
Autor: abakus

Hallo,
die Zahl [mm] 10=10^1 [/mm] besitzt 2 Stellen.
Die Zahl [mm] 100=10^2 [/mm] besitzt 3 Stellen.
Die Zahl [mm] 1000=10^3 [/mm] besitzt 4 Stellen usw.

Die Zahl [mm] 10^n [/mm] ist somit die erste Zahl, die n+1 Stellen hat.
(Das gleiche trifft für alle Zahlen von [mm] 10^n [/mm] bis [mm] 10^{n+1}-1 [/mm] zu.)
Wenn du also wissen willst, wie viele Stellen [mm] 2^{127} [/mm] hat, solltest du den Zehnerlogarithmus davon bilden.
Es gilt lg  [mm] 2^{127}=127*lg [/mm] 2 [mm] \approx 127*0,3010\approx [/mm] 38,23.
[mm] 2^{127} [/mm] liegt somit zwischen [mm] 10^{38} [/mm] und [mm] 10^{39} [/mm] und hat also 39 Stellen.
Gruß Abakus



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