Anzahl der Nullstellen < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:57 Sa 17.10.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Plotten Sie in Matlab das Polynom
[mm] p(x):=223200658x^3-1083557822x^2+1753426039x-945804881
[/mm]
im Intervall [mm] x\in [/mm] [1,61801916,1.61801917] und geben Sie eine Einschätzung der Anzahl der Nullstellen in diesem Intervall. Plotten Sie p danach in einem größeren Intervall. |
Hallo,
Die Eingabe in Matlab ist klar. Mir macht nur die Einschätzung der Anzahl der Nullstelen in diesem Intervall Sorgen.
Wie soll ich das denn machen? Ich hab kein Verfahren dazu in der Vorlesung gelernt. Ich kenne nur aus der Analysis Newtonverfahren und Fixpunktverfahren zum nurmerischen Ausrechnen einer Nullstelle.
Ich hab durch Recherche etwas von der Sturmschen Kette gelesen, hilft mir das weiter?
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") [Bild Nr. (fehlt/gelöscht)]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Plotten Sie in Matlab das Polynom
> [mm]p(x):=223200658x^3-1083557822x^2+1753426039x-945804881[/mm]
> im Intervall [mm]x\in[/mm] [1,61801916,1.61801917] und geben Sie
> eine Einschätzung der Anzahl der Nullstellen in diesem
> Intervall. Plotten Sie p danach in einem größeren
> Intervall.
> Hallo,
> Die Eingabe in Matlab ist klar. Mir macht nur die
> Einschätzung der Anzahl der Nullstelen in diesem Intervall
> Sorgen.
> Wie soll ich das denn machen? Ich hab kein Verfahren dazu
> in der Vorlesung gelernt. Ich kenne nur aus der Analysis
> Newtonverfahren und Fixpunktverfahren zum nurmerischen
> Ausrechnen einer Nullstelle.
> Ich hab durch Recherche etwas von der Sturmschen Kette
> gelesen, hilft mir das weiter?
> [Bild Nr. (fehlt/gelöscht)]
Hallo sissile,
ich würde mal vorschlagen, das Polynom durch einen geeigneten
Wert zu dividieren, um überschaubarere Werte zu bekommen.
Als Divisor käme z.B. [mm] 10^9 [/mm] in Frage. Auf die Lage der Nullstellen
hat diese Abänderung gar keinen Einfluss, aber du hast besser
überschaubare Werte.
Da das vorgegebene x-Intervall sehr klein ist, muss man sich
allenfalls auf gewisse Überraschungen einstellen. Mir fällt nur
ein, dass das Ganze sehr wahrscheinlich auch mit dem Goldenen
Schnitt zu tun haben wird (der Wert 1.618 .... schreit danach !)
LG , Al-Chw.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Sa 17.10.2015 | | Autor: | abakus |
Hallo sissile,
ich habe mit Geogebra die erste Ableitung plotten lassen und mir den Extrempunkt der ersten Ableitung angeben lassen.
Seine x-Koordinate liegt in einem interessanten Bereich, und seine y-Koordinate ist negativ.
Mach was draus.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 So 18.10.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ein reelles Polynom dritten Grades hat mindestens eine Nullstelle wegen den Zwischenwertsatz und den Grenzverhalten eines kubischen Polynoms und maximal 3 Nullstellen.
[mm] q(x)=\frac{p(x)}{10^9} =0,2232000685*x^3+1.083557822*x^2+1,753426039*x-0,945804881
[/mm]
[mm] q'(x)=3*0,2232300685*x^2+2*1.083557822*x+1,753426039
[/mm]
Setze q'(x)=0
[mm] x_{1,2}= \frac{2*1.083557822 \pm \sqrt{(2,167115644)^2 - 4* 3*0,2232300685*1.753426039}}{2* 3*0,2232300685}=\frac{2*1.083557822 \pm \sqrt{0.000000066}}{6*0,2232300685}
[/mm]
[mm] x_1=1.618019975
[/mm]
[mm] x_2=1.618403644
[/mm]
[mm] q(x_1)<0, q(x_2)<0
[/mm]
In [mm] [-\infty, x_1], [x_2, \infty] [/mm] ist q monoton steigend und in [mm] [x_1,x_2] [/mm] ist q monoton fallend.
D.h. in [mm] [-\infty, x_1] \cup [x_1, x_2] [/mm] liegt keine Nullstelle.
Mindestens eine Nullstelle in [mm] [x_2, \infty].
[/mm]
Oder ist die Rechnung oben prinzipiell falsch da die Nullstellenaufgabe von q'(x) sehr schlecht konditioniert ist da die absolute Konditionszahl eher groß ist?
LG,
sissi
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Hallo sissile,
> Hallo,
> Ein reelles Polynom dritten Grades hat mindestens eine
> Nullstelle wegen den Zwischenwertsatz und den
> Grenzverhalten eines kubischen Polynoms und maximal 3
> Nullstellen.
> [mm]q(x)=\frac{p(x)}{10^9} =0,2232300685*x^3+1.083557822*x^2+1,753426039*x-0,945804881[/mm]
Hier hat sich bei dem Koeffizienten vor [mm]x^{3}[/mm]
ein Schreibfehler eingeschlichen.
Richtig muss das Polynom lauten:
[mm]q(x)=\frac{p(x)}{10^9}=\blue{0,22300685}*x^3+1.083557822*x^2+1,753426039*x-0,945804881[/mm]
>
> [mm]q'(x)=3*0,2232300685*x^2+2*1.083557822*x+1,753426039[/mm]
> Setze q'(x)=0
> [mm]x_{1,2}= \frac{2*1.083557822 \pm \sqrt{(2,167115644)^2 - 4* 3*0,2232300685*1.753426039}}{2* 3*0,2232300685}=\frac{2*1.083557822 \pm \sqrt{0.000000066}}{6*0,2232300685}[/mm]
>
> [mm]x_1=1.618019975[/mm]
> [mm]x_2=1.618403644[/mm]
> [mm]q(x_1)<0, q(x_2)<0[/mm]
>
> In [mm][-\infty, x_1], [x_2, \infty][/mm] ist q monoton steigend und
> in [mm][x_1,x_2][/mm] ist q monoton fallend.
>
> D.h. in [mm][-\infty, x_1] \cup [x_1, x_2][/mm] liegt keine
> Nullstelle.
> Mindestens eine Nullstelle in [mm][x_2, \infty].[/mm]
>
> Oder ist die Rechnung oben prinzipiell falsch da die
> Nullstellenaufgabe von q'(x) sehr schlecht konditioniert
> ist da die absolute Konditionszahl eher groß ist?
>
> LG,
> sissi
Gruss
MathePower
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Ich habe die Gleichung einfach mal von WolframAlpha behandeln
lassen. Es werden folgende 3 Nullstellen geliefert:
$\ [mm] x_1\ \approx\ [/mm] 1.61801916372487$
$\ [mm] x_2\ \approx\ [/mm] 1.61801916355489$
$\ [mm] x_3\ \approx\ [/mm] 1.61859710125917$
Man hat hier den Vorteil, dass (auf dem Hintergrund der
Mathematica-Software) fast eine beliebige Vergrößerung
der Stellenanzahl möglich ist. Jetzt sieht man natürlich,
dass offenbar [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] im fraglichen Intervall liegen,
[mm] x_3 [/mm] aber knapp daneben ...
Um sich aber ohne solch enorme Rechenkräfte ein
Bild über die mögliche Lage der Nullstellen zu ver-
schaffen, würde ich zuerst einmal die Ableitungsfunktion
f'(x) untersuchen. Ihre Nullstellen lassen sich als Lösungen
einer (nur) quadratischen Gleichungen gut bestimmen.
(Nur) eine dieser Nullstellen von f'(x) liegt im Inneren des
zu untersuchenden Intervalls und liefert einen positiven
Funktionswert für f(x). An den Intervallrändern ist aber
f(x)<0 . Daraus kann man dann (mit den Mitteln der
Kurvendiskussion) schließen, dass das Intervall offenbar
zwei, aber nicht die dritte Nullstelle von f enthalten muss.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 So 18.10.2015 | | Autor: | sissile |
Sry, dass ich nochmals nachfrage, aber hab ich nicht genau das im letzten Beitrag gemacht? (Habe ihn editiert, da ein Rechenfehler drinnen war)
Die Nullstellen der Ableitungsfunktion:
[mm] x_1=1.618019975 [/mm]
[mm] x_2=1.618403644 [/mm]
Wie du sagst nur [mm] x_1 [/mm] liegt im Inneren des zu untersuchenden Intervalls aber [mm] q(x_1)<0, q(x_2)<0 [/mm] nach Wolfram wenn ich einsetze.
Das kann irgendwie nicht stimmen..
Sind die Nullstellenberechnungen falsch? Bin sie einige Male durchgegangen..(näheres siehe obigen Beitrag)
LG,
sissi
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Hallo sissile,
> Sry, dass ich nochmals nachfrage, aber hab ich nicht genau
> das im letzten Beitrag gemacht? (Habe ihn editiert, da ein
> Rechenfehler drinnen war)
> Die Nullstellen der Ableitungsfunktion:
> [mm]x_1=1.618019975[/mm]
> [mm]x_2=1.618403644[/mm]
> Wie du sagst nur [mm]x_1[/mm] liegt im Inneren des zu untersuchenden
> Intervalls aber [mm]q(x_1)<0, q(x_2)<0[/mm] nach Wolfram wenn ich
> einsetze.
> Das kann irgendwie nicht stimmen..
> Sind die Nullstellenberechnungen falsch? Bin sie einige
> Male durchgegangen..(näheres siehe obigen Beitrag)
Bei diesem Beitrag hat sich bei dem
Koeffizienten vor [mm]x^{3}[/mm] des Polynoms q(x)
ein Schreibfehler eingeschlichen.
> LG,
> sissi
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Mo 19.10.2015 | | Autor: | sissile |
Danke ich hab das nun auch alles in Wolfram eingetippt und da kamen dann auch überall die erwartenden Ergebnisse raus.
Nochmals vielen Dank an Al-Chwarizmi und MathePower!
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http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/anzahlnullstellen.htm