Anzahl der Orientierungen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:29 Mi 03.03.2010 | | Autor: | math101 |
| Aufgabe | | Die Untermannigfaltigkeit [mm] M=\{(x,y,z) :x^3+y^3+3z=3\} [/mm] des [mm] \IR^3. [/mm] Bestimmen Sie die Anzahl der Orientierungen. |
Hallo!!
Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Ich habe überall nachgeguckt, wie man die Anzahl der Orientierungen berechnet, aber verstehe das immer noch nicht. Ich würde mich über jede Hilfe sehr freuen.
Vielen Dank im Voraus.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:58 Mi 03.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Wenn eine Mft orientierbar ist, dann gibt es genau zwei Orientierungen.
LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mi 03.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich brauche Hilfe bei der Aufgabe. Ich habe überall
> nachgeguckt, wie man die Anzahl der Orientierungen
> berechnet
1. wo hast du nachgeschaut?
2. was verstehst du unter Orientierung?
3. was hast du dir überlegt?
Es gibt entweder 2 oder keine Orientierung. Diese hier ist orientierbar. Warum? Hängt von deinem Wissen ab, wie man das am besten zeigt.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:21 Sa 06.03.2010 | | Autor: | math101 |
Hallo SEcki!!
Vielen-vielen Dank für deine Antwort!!
> 1. wo hast du nachgeschaut?
Naja, ich habe in meinem Skript nachgeschaut , in meinen Büchern und im Internet. Und ehrlich gesagt ich habes nicht verstanden.
> 2. was verstehst du unter Orientierung?
Im Skript steht, dass Orientierung von einer Untrermannigfaltigkeit ist eine Äquivalenzklasse bzgl der Relation [mm] \hat= \{A, A\in \mathcal{A}_{max}\}, [/mm] wo [mm] \mathcal{A}_{max} [/mm] maximal orientierter Atlas ist. Ich kenne Äquivalenzklassen und -relationen aus der linearen Algebra, aber ich kann nicht verstehen, was man hier mit meint. Könntest du mir in ein paar Wörtern erklären?
> 3. was hast du dir überlegt?
>
> Es gibt entweder 2 oder keine Orientierung. Diese hier ist
> orientierbar. Warum? Hängt von deinem Wissen ab, wie man
> das am besten zeigt.
Das habe ich im Skript gefunden. Also wenn eine Mannigfaltigkeit orientiert ist dann gibts genau 2 Orientierungen.
Wie man das zeigt? Ich weiß es nicht. Ich bin total verzweifelt :(
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Sa 06.03.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
Also, was heißt es denn, dass ein maximaler Atlas orientiert ist? Dass heißt das die Differentiale der Übergangsdiffeomorphismen eine positive Determinante haben. Existiert so ein Atlas, heißt die MF orientierbar.
Eine Orientierung der MF ist nun eine Familie von Orientierungen der Tangentialräume (so ist zumindest die mir bekannte Begriffsbildung).
Hier kann man nun den Orientierungsbegriff für Vektorräume bemühen. Hierzu benutzt man die folgende Äquivalenzrelation: sind [mm] B=\{ b_1,...,b_n \} [/mm] und [mm] C=\{ c_1,....,c_n \} [/mm] geordnete Basen des VR V, so heißen diese äquivalent wenn die lin. Abb. T:V->V mit [mm] T((b_i))=c_i [/mm] (diese ist eindeutig) positive Determinante hat. Die Orientierung ist die Wahl einer solchen Äquivalenzklasse.
Die Differentiale der Karten aus einem orientierten Atlas sind Isomorphismen, die auf jedem Tangentialraum dieselbe Orientierung induzieren.
Sowas (oder zumindest sowas ähnliches) müsstet ihr auf jeden Fall in der Vorlesung gemacht haben. Ich geh aber mal davon aus, dass ihr darüber hinaus noch Kriterien hattet, mit denen man explizit MF auf Orientierbarkeit usw. prüfen kann. Wie siehts da bei euch aus?
Beste Grüße,
Doing
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> Hallo SEcki!!
> Vielen-vielen Dank für deine Antwort!!
>
> > 1. wo hast du nachgeschaut?
> Naja, ich habe in meinem Skript nachgeschaut , in meinen
> Büchern und im Internet. Und ehrlich gesagt ich habes
> nicht verstanden.
>
> > 2. was verstehst du unter Orientierung?
> Im Skript steht, dass Orientierung von einer
> Untrermannigfaltigkeit ist eine Äquivalenzklasse bzgl der
> Relation [mm]\hat= \{A, A\in \mathcal{A}_{max}\},[/mm] wo
> [mm]\mathcal{A}_{max}[/mm] maximal orientierter Atlas ist. Ich kenne
> Äquivalenzklassen und -relationen aus der linearen
> Algebra, aber ich kann nicht verstehen, was man hier mit
> meint. Könntest du mir in ein paar Wörtern erklären?
>
> > 3. was hast du dir überlegt?
> >
> > Es gibt entweder 2 oder keine Orientierung. Diese hier ist
> > orientierbar. Warum? Hängt von deinem Wissen ab, wie man
> > das am besten zeigt.
> Das habe ich im Skript gefunden. Also wenn eine
> Mannigfaltigkeit orientiert ist dann gibts genau 2
> Orientierungen.
> Wie man das zeigt? Ich weiß es nicht. Ich bin total
> verzweifelt :(
>
> Gruß
>
Hallo,
ich hab jetzt gar keine Definitionen nachgeschaut und versuche
einfach, einigermaßen anschaulich zu beschreiben, was man sich
wohl unter einem orientierten Atlas einer 2D-Mannigfaltigkeit im
[mm] \IR^3 [/mm] vorstellen muss. Ein Atlas besteht aus einer Menge von
Karten kleiner Ausschnitte der Fläche, welche sich gegenseitig
überlappen können und miteinander die gesamte Fläche abdecken
sollen. Eine orientierte Karte besitzt ein stetiges Feld von Nor-
maleneinheitsvektoren. Zwei sich überlappende orientierte
Karten sind (orientierungs-) kompatibel, wenn im Überlappungs-
gebiet ihre Normalenfelder übereinstimmen (d.h. die Normalen-
vektoren müssen gleich gerichtet sein, entweder beide "nach oben"
oder beide "nach unten"). Für jede Karte in einer kleinen Umgebung
eines Punktes P einer 2D- Mannigfaltigkeit gibt es offensichtlich
nur 2 mögliche Orientierungen. Diese Eigenschaft, dass es nur
2 mögliche Orientierungen gibt, überträgt sich durch die Über-
lappungen von einer Karte auf ihre benachbarten, und dann ins-
gesamt auf die gesamte Mannigfaltigkeit, falls diese über-
haupt eindeutig orientierbar ist. Nicht orientierbare 2D-Mannig-
faltigkeiten muss man sich so vorstellen, dass es in ihnen mindestens
eine geschlossene Kurve k mit der Eigenschaft gibt, dass der Nor-
malenvektor einer Karte, die man von einem Startpunkt A der
Kurve ausgehend der Kurve k entlang transportiert (stets in der
Mannigfaltigkeit bleibend) nach einem Umlauf genau in die
entgegengesetzte Richtung wie beim Start zeigt. Die Kurve k inklu-
sive einer streifenförmigen Umgebung bildet dann ein "Möbiusband".
Für die in der Aufgabe vorliegende Fläche kann man die beiden
möglichen in Frage kommenden Felder von Normalenvektoren,
welche sie zu einer orientierten Fläche machen, z.B. explizit an-
geben und ihre Stetigkeit über die gesamte Mannigfaltigkeit konkret
nachweisen.
LG Al-Chw.
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