Anzahl k dimensionaler Teilräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:43 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich habe folgendes Problem zu lösen:
Gesucht ist die Anzahl der k dimensionalen Teilräume U von V = [mm](\IZ_2)^6[/mm] für k = 0,...6!
Für die Dimensionen 0,1,5,6 ist es klar.
Wie aber komme ich an die Anzahl der Teilräume für k= 2,3,4?
Ich habe versucht, mir das an einem Beipiel klar zu machen([mm]\IZ_2^3[/mm])und glaube auch eine Formel gefunden zu haben, um die Anzahlen auszurechen. Hier kommt die Formel:
[mm]\produkt_ {i=0}^{k-1}\bruch {2^6-2^i}{2^k-2^i} [/mm]
Somit bekäme ich:
Anzahl der Teilräume der Dimension 2 = 651
Anzahl der Teilräume der Dimension 3 = 1395
Anzahl der Teilräume der Dimension 4 = 651.
Kann ich das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:48 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
> Gesucht ist die Anzahl der k dimensionalen Teilräume U von
> V = [mm](\IZ_2)^6[/mm] für k = 0,...6!
>
> Für die Dimensionen 0,1,5,6 ist es klar.
> Wie aber komme ich an die Anzahl der Teilräume für k= 2,3,4?
>
> Ich habe versucht, mir das an einem Beipiel klar zu machen([mm]\IZ_2^3[/mm])und glaube auch eine Formel gefunden zu haben, um die Anzahlen auszurechen. Hier kommt die Formel:
>
> [mm]\produkt_ {i=0}^{k-1}\bruch {2^6-2^i}{2^k-2^i} [/mm]
Sieht an sich gut aus. Den Zähler verstehe ich. Wie aber kommst du auf den Nenner?
Zunächst zum Zähler:
Für den ersten Basisvektor kommen alle Elemente bis auf $0$ in Frage, also [mm] $2^6-2^0$. [/mm] Für den zweiten Basisvektor kommen alle bis auf die Vielfaches des ersten in Frage, also [mm] $2^6-2^1$. [/mm] Für den dritten Basisvektor kommen alle bis auf diejenigen in Frage, die sich als Linearkombination der ersten beiden schreiben lassen, also bleiben [mm] $2^6 [/mm] - [mm] 2^2$ [/mm] übrig, etc.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Danke für die schnelle Antwort.
Ich bin ja schon einmal froh, dass ich die richtige Formel für den Zähler gefunden habe.
Jetzt zum Nenner:
Ich habe mich dabei an einem sehr kurzen Beispiel unserer Vorlesung versucht zu orientieren.
Das Beipiel war V = [mm]\IZ_2[/mm] hoch 10 x 1.
Ausgerechnet haben wir ohne Probleme die Anzahl der ein- und zweidimensionalen Teilräume.
Zur Dimension ga es dann nur die Info:
Man müsse durch die Anzahl der Basen des k-dimensionalen Teilraums teilen.
Für die Dimension 1 gibt es ja nur einen Basisvektor.
Für die Dimension 2 habe ich 2 Vektoren und die Linearkombination, also 3.
Dann habe ich versucht eine Regelmäßigkeit zu finden, um die Anzahl der Basen in der k-ten Dimension zu bestimmen.
Aber ich merke gerade, dass die Formel nicht mehr richtig ist, denn laut Formel teile ich in der 2. Dimension durch 6 und nicht durch 3!
Tja,jetzt bin selber ein wenig durcheinander!
Vielleicht hast du ja eine Idee!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ich habe gerade einen Fehler in meiner Antwort gelesen. Ich verbessere sie jetzt sofort. Schau sie dir in ein paar Minuten einfach noch einmal an und sage mir, was du jetzt davon hältst.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:38 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo Stefan!
Du hast Recht. Wir haben eben die geordnete Basis betrachtet, daran habe ich ger nicht mehr gedacht.
Nun aber zu Deiner Formel.
Meiner Meinung nach kann das doch auch nicht stimmen. Betrachte mal das Beispiel, welches ich eben gegeben habe.
Für die Dimension 2 habe ich da durch 3 teilen müssen, 2 Vektoren und die Linearkombination.
Für die Dimension 3 war es (7*6*4) laut Vorlesungsbeipiel (Sorry, habe ich gerade noch in einer Eckes des Blattes entdeckt.
Diesen Nenner kann ich aber durch k! nicht darstellen!
Alos muss es noch eine andere Lösung geben:
Ich vesruch´s noch mal (zum Beipiel, nicht zur AUfgabe) :
Für die Dimension 3 habe ich doch eine Basis bestehend aus 3 Basisvektoren {u,v,w}.
Den ersten kann ich doch frei wählen, also 7 Möglichkeiten für u.
Für den 2. Vektor darf ich alle auswählen (natürlich ohne den Nullvektor), bis auf v, also habe ich 6 Möglichkeiten.
Für w darf ich weder u noch v auswählen, somit wähle ich aus 5 Vektoren aus. Zusätzlich muss ich noch die Linearkombination rausnehmen. Also bleiben 4 möglichkeiten für w.
Also: 7*6*4 mögliche Basen (die Permutation müsste doch jetzt berücksichtigt sein)!
Was hälst Du davon und zu welcher neuen Formel könnte man da gelangen?
Gruss,
Wurzelpi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Wurzelpi!
Hier stand ausschließlich Blödsinn. 
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:16 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Sorry, ich habe mich da wohl nicht so geschickt ausgedrückt.
Was ich vesucht habe darzustellen, war die Anzahl der Basen, durch die ich teilen muss!
D.h. für die Dimension 3 habe ich dann im Nenner: 7*6*4
Auf den Zähler hatten wir uns ja geeinigt.
Wie gesagt,ich habe da auch nur dieses eine Beispiel, an dem ich mich orientiren kann!
Und ich gehe mal davon aus, dass unser Prof da keinen Quatsch angeschrieben hat!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Versuche doch jetzt mal, unabhängig davon, was der Prof angeschrieben hat (das scheint mir in diesem Zusammenhang wertlos zu sein), meine Argumentation nachzuvollziehen. Was daran -meinst du denn- ist falsch? Es kann ja sein, dass ich mich irre, aber dann hätte ich es gerne belegt. Nicht mit Sachen, die an irgendwelche Tafeln standen und die ich so natürlich jetzt nicht nachvollziehen kann, sondern mit einer eigenen Argumentation.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo nochmal!
Ich fasse mal zusmmen:
Wir suchen die Anzahl der k-dimensionalen Untervekorräume von [mm]\IZ_2[/mm] hoch 10.
Die Anzahl der Untervekorrräume der Dimension 1 ist 1;
die Anzahl der Untervektorräume der Dimension 2 ist [mm]\bruch{(2^{10}-1)*(2^{10}-2)}{2^2-1}[/mm].
Denn:
Wie der Zähler zu Stande kommt, ist ja eigentlich geklärt. Er gibt die Anzahl der Paare linear unabhängiger Tupel (u,v) an. Die Mächtigkeit von V ist [mm]2^{10}[/mm]. Somit habe ich ja für u 1023 Möglichkeiten.
Das Erzeugnis von u ist {0,u}. Also ist die Mächtigkeit 2.
Für v habe ich aber nur noch 1022 Möglichkeiten!
Die Anzahl der möglichen Unteräume der Dimension 2 kann aber nicht 1023*1022 sein.
Denn dann würden gleiche Teiläume mehrfach gezählt.
Also muss ich doch diese rausnehmen.
Deshalb wird geteilt, und zwar:
Ein Unterraum der Dimension 2 hat 4 Elemente, nämlich {0,u,v,u+v}.Insgesamt habe ich dann [mm] 2^2 [/mm] - 1 Möglichkeit einen Vektor auszuwählen, angenommen ich wähle u aus. Dann kann ich entweder v+u bzw. v auswählen. egal welchen ich auswähle, der andere ist impliziert wegen der Linearkombination. Demnach gibt es doch jeweils 3 gleiche Unterräume, die rausnehmen muss!
Entsprechend für die Dimension 3:
Ich habe [mm](2^{10}-1)*(2^{10}-2)*(2^{10}-4)[/mm] mögliche Unterräume der Dimension 3. Dabei muss ich aber auch wieder gleiche rausnehmen.
Es gilt dabei: Ein Unterraum der Dimension 3 hat 8 Elemente inkl. 0, also {0,a,b,c,d,e,f,g}.
Somit habe ich für den ersten Vektor 7 Möglichkeiten, für den 2. Vektor 6.
Da jeder Teilraum additiv abgeschlossen ist, ist somit auch die Linearkombination der ersten beiden im Teilraum. Somit bleiben für den 3. Vektor nur noch 4 Möglichkeiten.
Also habe ich 7*6*4 gleiche Teilräume.
Zur Verdeutlichung betrachte einfach mal [mm][mm] \IZ_2^{3}.
[/mm]
Dort gibt es ja offensichtlich 7 Unterrüme der Dimension 1, nämlich alle möglichen Vektoren.
Für die Diension 2 kann man ja einfach mal alle Kombinationen der Vekoren bilden und das Erzeugnis betrachten.
Man wird feststellen, dass man 21 Erzeugnisse erhält, also insgesamt 42 geordnete Basen. (Also: 42/2, da im Erzeugnis die Ordnung nicht relevant ist!)
Vergleicht man alle untereinander, so stellt man fest, dass von 21 Erzeugnissen jeweils 3 den gleichen Raum aufspannen.
Somit gibt es nur 7 verschiedene Teilräume der Dimension 2!
Ich bin mir jetzt sicher, dass das richtig ist.
Nur ob eine Formel da noch sinnvoll ist, bleibt offen und wie diese aussehen könnte.
Ich hoffe, dass meine Ausführungen jezt deutlich sind und ich dich überzeugen konnte!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mo 07.06.2004 | | Autor: | hanna |
hatte einen fehler hier drin
für [mm]\mathbf{k=2}[/mm] bzw [mm]\mathbf{k=4}[/mm] gilt:
[mm]\bruch{(2^6-1)*(2^6-2)}{6}=1302[/mm] , denn für den ersten vektor ([mm]v_1[/mm])habe ich [mm] 2^6-1 [/mm] möglichkeiten.
danach habe ich für den zweiten vektor [mm]v_2[/mm] aber nur noch [mm] 2^6-2 [/mm] möglichkeiten, da ich den ersten und den nullvektor nicht nehmen kann für eine basis (wegen der lin unabh. der basisvektoren).
die [mm]\mathbf{6}[/mm]im nenner kommt zu stande, weil ich doch insgesamt die folgende menge von vektoren habe [mm]\left\{0, v_1, v_2, v_1+v_2 \right\}[/mm].
für den ersten vektor der basis habe ich also 3 möglicheiten, einen vektor aus der menge zu wählen (0 geht ja nicht in ner basis) und für den zweiten vektor der basis habe ich dann noch 2 möglichkeiten ( halt nicht die null und nicht den zuerst gewählten vektor)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:27 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo stefan, hallo Hanna!
Ich freue mich, dass zuwir zu guter letzt noch auf einen gemeinsamen Nenner gekommen sind (im wahrsten Sinne des Wortes).
Ich danke Hanna, die meine letzte Erläuterung noch deuticher formulieren konnte und Stefan für die Diskussionen.
Die haben mich letztenendes auf das richtige Ergebnis gebracht!
Weiter so!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:08 Di 08.06.2004 | | Autor: | hanna |
ja, mist.
jetzt hab cih den post gelöscht, als ich den fehler verbessert habe....
kann man das irgendwie wiederherstellen???
tut mir leid, aber ich hab jetzt auch nicht die zeit, das wieder neu zu schreiben....
sorry.
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