Approximation < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
hallo,
dieser Wurzelterm ist Teil eines Ausdrucks für ein Potential, das entwickelt werden soll.
Ich verstehe dieses Ergebnis nicht. Es sieht aus als hätte man die Näherung für [mm] (1+x)^n \approx [/mm] 1+nx verwendet.
Ich hätte hier eher an mehrdimensionale Taylorentwicklung gedacht.
Kann mir jemand einen Tipp geben, was hier passiert ist?
gruß richard
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mi 28.03.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Richard!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> hallo,
>
> dieser Wurzelterm ist Teil eines Ausdrucks für ein
> Potential, das entwickelt werden soll.
> Ich verstehe dieses Ergebnis nicht. Es sieht aus als
> hätte man die Näherung für [mm](1+x)^n \approx 1+nx [/mm]
> verwendet.
Richtig.
> Ich hätte hier eher an mehrdimensionale Taylorentwicklung
> gedacht.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben, was hier passiert ist?
Die Frage ist doch immer: welche Terme sind groß und welche klein? Solange x klein gegen 1 ist, ist [mm](1+x)^n \approx 1+nx [/mm] eine gute Näherung.
(Der Vorteil der Taylorentwicklung ist, dass du den Fehler mit Hilfe des Restglieds nach oben abschätzen kannst. Dieser Fehler kann aber durchaus groß sein. Ein schönes Beispiel ist die Taylorentwicklung von [mm] $\sqrt{1+x}$, [/mm] die immer schlechter konvergiert, je stärker man sich der -1 von oben nähert.)
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
hallo Rainer,
danke für deine antwort
aber woher weiß ich denn, ob x klein genug gegen 1 ist, wenn es nicht
explizit aus der aufgabe hervorgeht?
was mich auch stört ist die tatsache, dass der term unter der wurzel offensichtlich auch von y abhängt. warum ist dann diese näherung immernoch zulässig?
gruß richard
|
|
|
| |
|
Hallo!
Erstmal ist das ein ganz schön starkes Stück,die Formel hier hochkant rein zu setzen. Ein wenig mehr Mühe wäre schon angebracht...
Aber zu deiner Frage:
Es wird nicht [mm] x_1 [/mm] genähert, sondern der ganze Bruch.
Ob etwas klein ist, oder nicht, ist tatsächlich nicht pauschal zu beantworten, und kommt doch sehr auf den Fall bzw. auf die Annahmen an.
Hier geht es wohl um deine Aufgabe mit den verketteten Federn aus dem anderen Thema. Da kannst du davon ausgehen, daß [mm] x_i [/mm] und [mm] y_i [/mm] klein sind gehenüber der Federlänge a.
Und wenn du den Bruch mal in drei Summanden aufspaltest, siehst du, daß da dann drei kleine Summanden stehen.
|
|
|
| |
|
hallo
eine frage bleibt mir trotzdem noch unbeantwortet:
wie kommt der letzte term in der approximation zustande?
für den ausdruck [mm] (1+x)^\bruch{1}{2} [/mm] gilt ja die näherung:
[mm] (1+x)^\bruch{1}{2}\approx 1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1}{8}x^2...
[/mm]
soweit so gut.
in dem beispiel heißt es ja: [mm] a^2(1+\bruch{x^2+2ax+y^2}{a^2})^{\bruch{1}{2}}\approx a^2(1+\bruch{1}{2}(\bruch{x^2+2ax+y^2}{a^2})-\bruch{1}{8}\bruch{4x^2}{a^2})
[/mm]
der letzte term [mm] \bruch{1}{8}\bruch{4x^2}{a^2}
[/mm]
kommt mir seltsam vor. müsst da nicht eher [mm] stehen:-\bruch{1}{8} (\bruch{x^2+2ax+y^2}{a^2})^2
[/mm]
wir substituieren doch sozusagen den term [mm] \bruch{x^2+2ax+y^2}{a^2} [/mm] durch irgendeine variable und machen dann die näherung
oder vesteh ich da etwas völlig falsch?
gruß richard
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Do 29.03.2012 | | Autor: | chrisno |
Das ist weiterhin der gleiche Gedankengang. Was ist wie groß? Da x und y klein sind, sind [mm] x^2 [/mm] und [mm] y^2 [/mm] noch viel kleiner. Warum soll der Krümelkram noch mitgenommen werden?
|
|
|
|
