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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Sei [mm] f\in C^{k}(I) [/mm] für [mm] k\in\IN_{0}, [/mm] und [mm] P_{k} [/mm] das k-te Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt [mm] x_{0}\in [/mm] I. Dann ist [mm] P_{k} [/mm] das eindeutig bestimmte Polynom von Grad höchstens k mit [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-P_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=0 [/mm] |
Hallo!
Der Beweis zu diesem Satz steht in meinem Skript, aber leider etwas kurz. Ich versuche gerade ihn nachzuvollziehen, komme aber an einer Stelle nicht weiter. Es steht folgendes da:
Nach Satz 3.2 (das ist die Lagrange-Darstellung des Restglieds, siehe weiter unten) gibt es zu [mm] x\in [/mm] I ein [mm] \gamma [/mm] zwischen [mm] x_{0} [/mm] und x mit:
[mm] \bruch{f(x)-P_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})=\bruch{1}{k!}(f^{(k)}(\gamma)-f^{(k)}(x_{0})).
[/mm]
Da [mm] f^{(k)} [/mm] stetig, ist [mm] |f^{(k)}(\gamma)-f^{(k)}(x_{0})|<\epsilon [/mm] für [mm] |x-x_{0}|<\delta, [/mm] womit die Konvergenz gegen Null bewiesen ist.
Dann wird die Eindeutigkeit bewiesen.
Satz 3.2, Lagrange-Darstellung des Restglieds:
Sei [mm] f\in C^{k+1}(I) [/mm] für [mm] k\in\IN_{0}. [/mm] Dann gibt es zu [mm] x_{0},x\in [/mm] I ein [mm] \gamma [/mm] zwischen [mm] x_{0} [/mm] und x, so dass gilt:
[mm] f(x)=\summe_{j=0}^{k}\bruch{f^{(j)}(x_{0})}{j!}(x-x_{0})^{j}+R_{k}(x) [/mm] mit [mm] R_{k}(x)=\bruch{f^{(k+1)}(\gamma)}{(k+1)!}(x-x_{0})^{k+1}
[/mm]
Jetzt zu meinem Problem:
Den ersten Schritt im Beweis verstehe ich, also:
[mm] \bruch{f(x)-P_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})
[/mm]
Aber dann kommt:
[mm] =\bruch{1}{k!}(f^{(k)}(\gamma)-f^{(k)}(x_{0}))
[/mm]
Da komme ich nicht weiter. Ich habe folgendes überlegt:
[mm] \bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})=\bruch{1}{k!}(k!*\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-f^{(k)}(x_{0}))
[/mm]
Damit muss nur noch [mm] k!*\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=f^{(k)}(\gamma) [/mm] gezeigt werden um auf den letzten Ausdruck zu kommen.
Dafür habe ich mir folgendes überlegt:
[mm] k!*\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=k!*\bruch{P_{k}(x)-R_{k}(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}} [/mm] (da [mm] f(x)=P_{k}(x)-R_{k}(x))
[/mm]
[mm] =k!*\bruch{\bruch{f^{(k)}(x_{0})}{k!}*(x-x_{0})^{k}-R_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}
[/mm]
[mm] =k!*\bruch{\bruch{(x-x_{0})^{k}}{k!}*(f^{(k)}(x_{0})-\bruch{f^{(k+1)}(\gamma)}{k+1}*(x-x_{0}))}{(x-x_{0})^{k}}
[/mm]
[mm] =f^{(k)}(x_{0})-\bruch{f^{(k+1)}(\gamma)}{k+1}*(x-x_{0})
[/mm]
Und hier liegt mein Problem: Ich komme nicht weiter!
Habe ich mich irgendwo verrannt, einen Denkfehler gemacht oder so?
Kann mir jemand helfen?
Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 So 19.08.2012 | | Autor: | hippias |
> Beweisen Sie:
> Sei [mm]f\in C^{k}(I)[/mm] für [mm]k\in\IN_{0},[/mm] und [mm]P_{k}[/mm] das k-te
> Taylorpolynom von f mit Entwicklungspunkt [mm]x_{0}\in[/mm] I. Dann
> ist [mm]P_{k}[/mm] das eindeutig bestimmte Polynom von Grad
> höchstens k mit [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}\bruch{f(x)-P_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=0[/mm]
>
> Hallo!
> Der Beweis zu diesem Satz steht in meinem Skript, aber
> leider etwas kurz. Ich versuche gerade ihn
> nachzuvollziehen, komme aber an einer Stelle nicht weiter.
> Es steht folgendes da:
>
> Nach Satz 3.2 (das ist die Lagrange-Darstellung des
> Restglieds, siehe weiter unten) gibt es zu [mm]x\in[/mm] I ein
> [mm]\gamma[/mm] zwischen [mm]x_{0}[/mm] und x mit:
>
> [mm]\bruch{f(x)-P_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})=\bruch{1}{k!}(f^{(k)}(\gamma)-f^{(k)}(x_{0})).[/mm]
> Da [mm]f^{(k)}[/mm] stetig, ist
> [mm]|f^{(k)}(\gamma)-f^{(k)}(x_{0})|<\epsilon[/mm] für
> [mm]|x-x_{0}|<\delta,[/mm] womit die Konvergenz gegen Null bewiesen
> ist.
> Dann wird die Eindeutigkeit bewiesen.
>
>
> Satz 3.2, Lagrange-Darstellung des Restglieds:
> Sei [mm]f\in C^{k+1}(I)[/mm] für [mm]k\in\IN_{0}.[/mm] Dann gibt es zu
> [mm]x_{0},x\in[/mm] I ein [mm]\gamma[/mm] zwischen [mm]x_{0}[/mm] und x, so dass
> gilt:
>
> [mm]f(x)=\summe_{j=0}^{k}\bruch{f^{(j)}(x_{0})}{j!}(x-x_{0})^{j}+R_{k}(x)[/mm]
> mit
> [mm]R_{k}(x)=\bruch{f^{(k+1)}(\gamma)}{(k+1)!}(x-x_{0})^{k+1}[/mm]
>
>
> Jetzt zu meinem Problem:
> Den ersten Schritt im Beweis verstehe ich, also:
>
> [mm]\bruch{f(x)-P_{k}(x)}{(x-x_{0})^{k}}=\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})[/mm]
>
> Aber dann kommt:
>
> [mm]=\bruch{1}{k!}(f^{(k)}(\gamma)-f^{(k)}(x_{0}))[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Du hast $\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})$ und nach Lagrange ist $f(x)-P_{k-1}(x)}= R_{k-1}= \bruch{f^{(k)}(\gamma)}{k!}(x-x_{0})^{k}$, d.h. $\bruch{f(x)-P_{k-1}(x)}{(x-x_{0})^{k}}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})= \bruch{f^{(k)}(\gamma)}{k!}-\bruch{1}{k!}f^{(k)}(x_{0})$. Und das ist schon des Raetsels Loesung.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 So 19.08.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
oh... ok, zu kompliziert gedacht ^^
Danke 
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