Approximation der Binomialvert < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:49 So 10.06.2007 | | Autor: | wulfen |
| Aufgabe | Sei X eine hypergeometrisch verteilte Zufallsvariable mit Parametern N=i*s, M=i*r und n für i,r,s [mm] \in \IN [/mm] und r<s. Weiter sei Y eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parameter n und [mm] \bruch{r}{s}. [/mm] Zeigen Sie, dass für k [mm] \in [/mm] {0,1,...,n} gilt:
[mm] \limes_{i\rightarrow\infty} [/mm] P(X=k) = P(Y=k).
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Kann mir da mal jemand sagen, wie ich das beweisen kann? Finde keine Möglichkeit, dass irgendwie in die richtige Richtung umzuformen.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 So 10.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Tobias,
ich wuerde gerne die Voraussetzungen dahingehend abschwaechen, dass wir
annehmen [mm] $M/N\to [/mm] p(0,1)$. (In deiner Aufgabenstellung steht $M/N=p=r/s$,
aber das brauchen wir nicht.)
Leider schreibst du nicht, wie du hypergeometrische Verteilung
parametrisiert hast. Deswegen schreibe ich das mal nach meiner Fasson.
Es ist
[mm] \begin{matrix}
P(X=k)
&=&\frac{\displaystyle {M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle
{N \choose n}} \\
&=&\frac{\displaystyle M!(N-M)!(N-n)!n!}{\displaystyle
N!k!(M-k)!(N-M-n+k)!(n-k)!} \\
&=&\frac{\displaystyle M!(N-M)!(N-n)!n!}{\displaystyle
N!k!(M-k)!(N-M-n+k)!(n-k)!} \\
&=&{\displaystyle n \choose k}\frac{\displaystyle
M!(N-M)!(N-n)!}{\displaystyle N!(M-k)!(N-M-n+k)!}
\end{matrix}
[/mm]
Weiter ist
[mm] $\frac{\displaystyle M!}{\displaystyle (M-k)!}=M\times(M-1)\times...\times(M-k+1)=:A$,
[/mm]
ein Produkt mit $k$ Faktoren. Ferner erhalten wir
[mm] $\frac{\displaystyle (N-M)!}{\displaystyle (N-M-n+k)!}=(N-M)\times(N-M-1)\times...\times(N-M-n+k+1)=:B$,
[/mm]
ein Produkt mit $n-k$ Faktoren.
Schreibe $N!$ in der Form $N!= [mm] C\times [/mm] D [mm] \times [/mm] (N-n)!$ mit
[mm] $C:=N\times(N-1)\times...\times [/mm] (N-k+1)$,
ein Produkt mit $k$ Faktoren und
[mm] $D:=(N-k)\times(N-k-1)\times...\times [/mm] (N-n+1)$.
ein Produkt mit $n-k$ Faktoren. Man sieht, dass gilt
[mm] $P(X=k)={\displaystyle n \choose k}\times\frac{A}{C}\times \frac{B}{D}$.
[/mm]
Es ist [mm] $A/C=(M/N)\times ((M-1)/(N-1))\times...$. [/mm] Jeder dieser $k$
Faktoren konvergiert gegen $p$, so dass [mm] $A/C\to p^k$. [/mm] Analog erhaelt
man [mm] $B/D\to(1-p)^{n-k}$.
[/mm]
lg
Luis
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