Approximationsproblem < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:01 Do 10.01.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben ist A|B= [mm] \pmat{ 3 & -5 & 1 | 5 \\ -5 & 3 & 0 | -10 \\ 1 & -7 & 2 | 0 \\ 3 & 11 & -4 | 10 }
[/mm]
Bestimme den Rang A. |
Um den Rang A zu bestimmen, muss man die Matrix mit dem Eliminationsverfahren umformen:
[mm] \pmat{ 3 & -5 & 1 |5 \\ 0 & -16 & 5 |-5 \\ 0 & 0 & 0 |0 \\ 0 & 0 & 0 |0 }
[/mm]
Es gilt nun: Rang A=2=Rang (A|B) [mm] \wedge [/mm] 2<3
Der folgende Fall ist somit eingetreten:
Rang A=r=Rang (A|B) [mm] \wedge [/mm] r<n.
Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.
Zum einen möchte ich mich vergewissern, was die einzelnen Ausdrücke bedeuten. Rang A meint die Anzahl unabhängiger Gleichungen, müsste daher in jedem Fall mit der Anzahl der Zeilen (ohne die Nullzeilen) übereinstimmen. n ist die Anzahl der Unbekannten, müsste somit mit der maximal vorhandenen Spaltenanzahl übereinstimmen. Bei Rang(A|B) bin ich mir nicht ganz sicher. So weit ich weiß, ist das die Anzahl der Zahlen die rechts stehen (5 und -5), somit die Anzahl 2. Stimmt das alles soweit? Zum anderen würde ich noch gerne wissen, wie man in diesem Falle eine annähernd "gute" Lösung bekommt. Dies hat etwas mit Approximation zu tun. Wie wird so etwas gemacht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:29 Do 10.01.2008 | | Autor: | Owen |
Habe versehendlich diese Frage doppelt gestellt. Die gleiche Frage steht hier noch einmal im Forum. Dort bitte nachschauen wenns geht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Do 10.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Umformung hab ich nicht nachgerechnet, aber dein Vorgehen und dein Schlussfolgerungen sind richtig.
man spricht zwar lieber von der Anzahl von linear unabhängigen Zeilenvektoren, statt von Gleichzungen .
A|B ist die um den Spaltenvektor B "erweiterte" Matrix. nur wenn sie den gleichen Rang wie A hat gibt es Lösungen. mit der Zahl der Zahlen ungleich 0 in der Spalte hat das nix zu tun.
Du kannst jetzt bei der Lösung des Gleichungssystems 2 der Unbekannten beliebig setzen, also etwa x4=r x3=t und dann x1 und x2 ausrechnen. Dann hast du alle möglichen Lösungen, wenn du für r,s beliebige Zahlen einsetzt.
Das nennt man aber nicht Approximation, sondern es sind exakte Lösungen!
Gruss leduart
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:06 Do 10.01.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo,
ich habe die Sache mit dem Erweitern beim Rang(A|B) noch nicht ganz verstanden. Wie kann man diesen Rang bestimmen, bzw. wann ist er ungleich Rang A.
Vielleicht habe ich bei der Approximation ein unpassendes Beispiel gebracht. Ich meinte damit nicht die allgemeine Lösung mithilfe der homogenen und partikulären Lösung. Ich meinte damit ein Vorgehen bei einem überdimensionierten Gleichungssystem, wo es keine genaue Lösung gibt. Soweit ich weiß, taucht dort auch die Fehlerquadratmethode nach Gauß auf. Dieses Approximationsverfahren würde ich gerne kennenlernen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 Fr 11.01.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Owen,
also ich hab deine Matrix mal nachgerechnet und bin auf das selbe Ergebnis gekommen wie du. Ich würde auch sagen, dass du ein falsches
Beispiel gewählt hast, denn bei deiner Aufgabe gibt es unendlich viele Lösungen, das heißt du brauchst keine Lösung approximieren. Du kannst sie ausrechnen.
Naja den Rang von (A|B) hast du ja schon bestimmt. Und den Rang von A kannst du genauso bestimmen und wenn jetzt der Rang von (A|B) größer als der Rang von A wäre, dann gäbe es keine Lösungen.
Wenn zum Beispiel der Rang von (A|B) 3 wäre und der von A 2 ist. Dann gäbe es keine Lösung. Bei so einem Beispiel könnte man vielleicht nach einer Aproximation suchen, welche alle Gleichungen "ziemlich" gut löst.
Aber hier kenn ich mich nicht aus, ich hoffe, dass dir jemand anders weiterhelfen kann.
Mit freundlichen Grüßen,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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