Approximationsverfahren DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:31 So 30.05.2010 | | Autor: | babapapa |
| Aufgabe | | Für folgende DGL soll mit einer Genauigkeit von 0.01 mittel Approximationsverfahren der Wert von y(0.5) berechnet werden, wobei y(x) dem AWP [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] mit y(0) = -1 genügt. Die Lösungskurve geht also durch (0,-1). |
Hallo!
Ich wollte gerade obige Aufgabe lösen, jedoch habe ich hier Probleme.
Also ich muss mich für eine Approximationsverfahren entscheiden - ich entscheide mich für das explizite Approximationsverfahren von Euler:
[mm] y(x_{j}) [/mm] = [mm] y(x_{j-1}) [/mm] + h [mm] f(x_{j-1}, y(x_{j-1})) [/mm] + [mm] O(h^2)
[/mm]
ich weiß, dass y(0) = -1
[mm] u_0 [/mm] = [mm] y_0
[/mm]
[mm] u_j [/mm] = [mm] u_j [/mm] - 1 + h [mm] f(x_{j-1}, y(u_{j-1})
[/mm]
Also mit h = 0.1
[mm] u_0 [/mm] = -1
[mm] u_1 [/mm] = [mm] u_0 [/mm] + h * [mm] f(x_0 [/mm] , [mm] u_0)= [/mm] -1 + 0.1 * 1 = -0.9
[mm] u_2 [/mm] = [mm] u_1 [/mm] + h * [mm] f(x_1 [/mm] , [mm] u_1)= [/mm] -0.9 + 0.1 * (0.01 + 0.81) = -0.818
...
Danach berechne ich einfach die Lösung des AWPs mit Separation der Variablen und einfach 0.5 für x einsetzten - dann bekomme ich einen Wert von y an dieser Stelle heraus, den ich mit [mm] u_5 [/mm] vergleiche.
Stimmt mein Vorgehen so?
Ich meine, ich bin nicht ganz sicher wegen der Genauigkeit. In dem Buch, welches ich verwende, steht etwas von quadratischen Fehler von h. es ist also [mm] 0.1^2 [/mm] = 0.01 was der Genauigkeit von 0.01 entsprechen würde.
Ist das korrekt?
lg
Babapapa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:26 Mo 31.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke nicht, dass der Vergleich mit der analytischen Lösung das ist was deine Profs wollen! Denn später soll man ja das Verfahren anwenden um DGL zu lösen, wo es nicht einfach ne analytische Lösung gibt. (wie du die Dgl mit Separation lösen kannst müsstest du auch noch sagen?)
quadratisch konv. heisst, wenn du die Schrittweite halbierst, wird der Fehler geviertelt, usw. nicht, was du sagst.
Habt ihr keine Fehlerabschätzungen gemacht?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Mo 31.05.2010 | | Autor: | babapapa |
Hallo leduart!
Nein wir haben diesbezüglich nicht viel gemacht.
Wir haben etwas mit der Gauß Approximation gemacht, wobei wir immer das arithmetische Mittel eingesetzt haben. Hab ich nicht verstanden um ehrlich zu sein.
Wie könnte man denn diesem Problem Herr werden?
Ich habe im Buch von Schwarz(?) über Numerische Lösungen gelesen, dass man die analytische Lösung z.b. mit der expliziten Lösung vergleicht.
Naja ich bin leider kein Experte, deswegen bin ich froh über jeden Tipp
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Mo 31.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du nicht mit der exakten Lösung vergleichen kannst wird es allgemein relativ kompliziert. Wenn ihr das nicht gemacht habt gibts einen infachen Wg. nimm irgendeine Schrittweite, anfangs ruhig grossrechne damit y(0.5) aus halbiere die Schrittweite, rechne wieder. Wenn beide Ergebnisse auf 2 Stellen hinter dem Komma übereinstimmen bist du fertig, sonst weiter halbieren.
Da man das mit nem Programm oder Exelblatt macht, ists ja nicht so mühsam, wie zu Fuß.
Gruss leduart
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