Arithmetische Folge - Ansatz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Vamiris |
| Aufgabe 1 | | Wie groß ist die Summe aller durch 7 [11,17] mit dem Rest 4 [5,9] teilbaren ungeraden Zahlen zwischen 50 und 500? |
| Aufgabe 2 | Ein zylindrischer Spulenkörper hat eine Länge von 50mm und einen Durchmesser von 20mm. Auf ihn werden 15 Lagen Kupferdraht mit einem Durchmesser von 0,5mm aufgewickelt.
a) Welchen Durchmesser hat die gewickelte Spule?
b) Wie viel Draht wird benötigt? |
Hallo zusammen,
beide Aufgaben sind für mich lösbar, jedoch nur mit manuellen Zwischenschritten.
Bei Aufgabe 1. würde ich händisch jede Zahl durch rechnen, mir notieren und daraus die Summe bilden. Doch das muss doch auch berechenbar sein.
In meinen alten Schulheftern finde ich dazu nur leider nichts mehr und die allgemeinem Infos zu arithmetischen und geometrischen Folgen und Reihen kann ich nicht so richtig auf die Aufgabenstellung beziehen.
Bei Aufgabe 2 ist es ähnlich: Aufgabe a) ist leicht zu lösen, ausgehend von 20mm Anfangsdurchmesser und je 1mm Zuwachs pro Lage komme ich auf 35mm. Hier frage ich mich nur, ob sich bei dieser Formulierung die 0,5mm auf den Drahtdurchmesser oder den Lagenzuwachs beziehen.
Bei b) stehe ich vor dem gleichen Problem wie bei Aufgabe 1.
Ich könnte wieder jede Lage nehmen, durch den wachsenden Durchmesser den Umfang berechnen und am Ende die 15. Ergebnisse addieren.
Doch auch dies muss doch in einer Formel darstellbar sein?
Vielleicht kann mir jemand dies an diesen Aufgaben erklären oder mir eine hilfreiche Infoseite nennen.
Danke schon mal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
in beiden Fällen geht es um Partialsummen arithmetischer Folgen. Dafür müsstet ihr eine Summenformel durchgenommen haben.
Ich geb dir mal als Tipp die sog. Gauß'sche Summenformel für die ersten n natürlichen Zahlen (die ja auch nichts anderes als eine arithemtische Folge sind!):
[mm] \sum_{k=1}^{n}k=1+2+...+n= \frac{n*(n+1)}{2} [/mm]
Darauf aufbauend kann man sich auch leicht eine Formel für ein Teilsumme einer arithetischen Folge basteln.
Vielleicht gelingen dir damit ja schon die Lösungen der beiden Aufgaben?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Vamiris |
Hallo Diophant,
für Aufgabe 2 komme ich damit zu recht. Ich würde diese Formel bilden:
[mm] \summe_{i=1}^{15} [/mm] = pi * 20+0,5n
Wie ich jedoch in diese Form eine Division mit Rest einbaue, überfordert mich grade ;)
Aber schon mal Danke für den Ansatz. Gaußsche Formel war der Ansatz, mit dem ich weiter komme.
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Hallo Vamiris, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> für Aufgabe 2 komme ich damit zu recht. Ich würde diese
> Formel bilden:
> [mm]\summe_{i=1}^{15}[/mm] = pi * 20+0,5n
Oops. Was soll das heißen? Diese Notation hat keinen erkennbaren Sinn.
Jede der 15 Lagen hat 100 Umläufe (Länge Spulenkörper ist ja 50mm). Der Durchmesser jeder Lage steigt immer um zwei Drahtdicken, also 1mm. Und wenn mans genau(er) nimmt, ist der gemittelte Durchmesser jeder Lage eigentlich in der Drahtmitte anzusiedeln, wäre also in der ersten Lage 20,5mm, dann je 1mm mehr.
Die erste Lage hat also [mm] 100*20,5*\pi [/mm] mm Drahtlänge, die zweite [mm] 100*21,5*\pi [/mm] mm etc.
Der Durchmesser der k-ten Lage ist also $19,5+k$ mm.
Berechnen musst Du also [mm] \summe_{k=1}^{15}100*(19,5+k)*\pi=?
[/mm]
> Wie ich jedoch in diese Form eine Division mit Rest
> einbaue, überfordert mich grade ;)
Nehmen wir mal die Zahlen zwischen 50 und 500, die bei Division durch 7 den Rest 4 lassen. Die kleinste davon ist 53, und dann gehts in 7er-Schritten weiter bis 494=53+63*7.
edit: gefordert waren hier nur die ungeraden Zahlen, die die Bedingung erfüllen - siehe den Hinweis von blascowitz und natürlich die Aufgabenstellung!
Als Summe geschrieben: [mm] \summe_{k=7}^{70}(7k+4)=?
[/mm]
Das ist also falsch! Richtig ist [mm] \blue{\summe_{k=3}^{34}(14k+11)=?}
[/mm]
> Aber schon mal Danke für den Ansatz. Gaußsche Formel war
> der Ansatz, mit dem ich weiter komme.
Bestimmt.  Viel Erfolg dabei.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:52 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Vamiris |
Danke Reverend,
ich bin mit der Darstellung von Formeln hier nicht ganz klar gekommen. Aber so in etwa habe ich es auch gedacht.
Einzige Frage ist nur, wie du auf die Ableitung von 19,5mm kommst? Ich beginne ja bei 20mm, bzw. wie du recht hast genauer 20,5mm.
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Hallo,
> Danke Reverend,
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> ich bin mit der Darstellung von Formeln hier nicht ganz
> klar gekommen. Aber so in etwa habe ich es auch gedacht.
>
> Einzige Frage ist nur, wie du auf die Ableitung von 19,5mm
> kommst? Ich beginne ja bei 20mm, bzw. wie du recht hast
> genauer 20,5mm.
das ist eine eher technische Frage. reverend beginnt mit 19.5mm und dafür gleich mit dem Summationsindex k=1.
Würde man bei 20.5 beginnen, müsste man den Bereich, über den summiert wird, noch entsprechend abändern, also konkret muss man dann von k=0 bis k=14 summieren. Die Vorgehensweise von reverend ist dabei für meinen Geschmack die 'nativere', auf das Problem bezogen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Mo 06.05.2013 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
ich wollte darauf hinweisen, das in der Aufgabe die Summe aller ungerade Zahlen zwischen 50 und 500 gesucht sind, die bei Teilung durch 7 den Rest 4 hinterlassen.
Man muss sich also noch überlegen, für welche $k [mm] \in \IN$ [/mm] die Zahl $7k+4$ ungerade wird.
Viele Grüße
Blasco
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Di 07.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Blasco,
> ich wollte darauf hinweisen, das in der Aufgabe die Summe
> aller ungerade Zahlen zwischen 50 und 500 gesucht sind, die
> bei Teilung durch 7 den Rest 4 hinterlassen.
>
> Man muss sich also noch überlegen, für welche [mm]k \in \IN[/mm]
> die Zahl [mm]7k+4[/mm] ungerade wird.
Ups. Dieses kleine wesentliche Wort habe ich vollkommen überlesen... Danke für diesen wichtigen Hinweis!
Zur Buße gebe ich daher wenigstens noch 8640 als Kontrolllösung an.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:29 Di 07.05.2013 | | Autor: | blascowitz |
Hallo,
ich hab das jetzt mal nicht nachgerechnet ( muss ja auch noch arbeiten), aber das könnte stimmen ^^.
@ reverend: Dir sei vergeben :)
Viele Grüße
Blasco
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