Artinsche Ringe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Di 17.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
| Aufgabe | | Sei A ein noetherscher Ring, B [mm] \subseteq [/mm] A ein artinscher Unterring, A ganz über B. Zeigen Sie dass A auch artinsch ist. |
Hallo zusammen,
Die einzige alternative Form dazu dass ein kommutativer Ring artinsch ist welche ich kenne ist, dass er noethersch ist und die Krull-Dimension von ihm 0 ist. Und die Krull-Dimension ist gleich dem Supremum der Höhen aller Primideale. Man könnte also zeigen dass jedes Primideal die Höhe 0 hat. Aber eine konkrete Idee wie man dies tun kann ist bisher noch nicht vor mir erschienen. Über Hilfe würde ich mich deshalb sehr freuen.
Bei dieser Gelegenheit noch die Frage: Was bedeutet das K in [mm] dim_k(A) [/mm] ? Manchmal hat der Dozent dies verwendet, aber wir haben es nicht schriftlich definiert, und auch in den Büchern konnte ich nichts dazu finden. Ich erinnere mich aber dass er einmal sagte dass es nicht für Krull steht, sondern etwas mit Körpern zu tun hat.
Ich freue mich auf Eure Antworten,
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Di 17.01.2012 | | Autor: | Berieux |
Hi!
> Sei A ein noetherscher Ring, B [mm]\subseteq[/mm] A ein artinscher
> Unterring, A ganz über B. Zeigen Sie dass A auch artinsch
> ist.
Man kann mit ein wenig mehr Anstrengung allgemein zeigen, dass für jede ganze Erweiterung dimA=dimB gilt; ich gehe mal davon aus dass ihr diesen Satz noch nicht hattet (?), sonst folgt die Aussage ja sofort mit deiner Charakterisierung artinscher Ringe als noethersche dim 0 Ringe.
> Hallo zusammen,
>
> Die einzige alternative Form dazu dass ein kommutativer
> Ring artinsch ist welche ich kenne ist, dass er noethersch
> ist und die Krull-Dimension von ihm 0 ist. Und die
> Krull-Dimension ist gleich dem Supremum der Höhen aller
> Primideale. Man könnte also zeigen dass jedes Primideal
> die Höhe 0 hat. Aber eine konkrete Idee wie man dies tun
> kann ist bisher noch nicht vor mir erschienen. Über Hilfe
> würde ich mich deshalb sehr freuen.
Ich würde es so machen: Man muss zeigen, dass jedes Primideal in A maximal ist. Sei hierzu [mm]P \subset A[/mm] PI. Betrachte dann die Erweiterung [mm] B/(P\cap B) \subseteq A/P[/mm].
>
> Bei dieser Gelegenheit noch die Frage: Was bedeutet das K
> in [mm]dim_k(A)[/mm] ? Manchmal hat der Dozent dies verwendet, aber
> wir haben es nicht schriftlich definiert, und auch in den
> Büchern konnte ich nichts dazu finden. Ich erinnere mich
> aber dass er einmal sagte dass es nicht für Krull steht,
> sondern etwas mit Körpern zu tun hat.
>
Wenn A eine k-Algebra ist, könnte damit die k-Dimension gemeint sein. Das ist die größte postitve Zahl n, sodass die Polynomalgebra [mm]k[X_{1},...,X_{n}][/mm] in A liegt. Ist A ein Körper, ist das dann gerade der Transzendenzgrad der Körpererweiterung [mm]k\subset A[/mm].
Beste Grüße,
Berieux
> Ich freue mich auf Eure Antworten,
>
> Viele Grüße,
> Vilietha
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 17.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Berieux,
vielen Dank für Deine Antwort!
Warum reicht es zu zeigen dass jedes Prim-Ideal ein maximales Ideal ist?
Der Ring [mm] B/(P\cap [/mm] B) [mm] \subseteq [/mm] A/(P) ist ja ein Quotientring. Um zu zeigen dass [mm] P\cap [/mm] B ein maximales Ideal in B ist, kann man auch zeigen dass [mm] B/(P\cap [/mm] B) ein Körper ist. Aber ich sehe hier keinen Weg um dies zu zeigen. Wie kann mir die Tatsache dass B artinsch und A noethersch ist hierbei helfen?
Viele Grüße,
Vilietha
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Mi 18.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Vilietha,
> Warum reicht es zu zeigen dass jedes Prim-Ideal ein
> maximales Ideal ist?
weil das gerade [mm] $\dim [/mm] = 0$ bedeutet.
> Der Ring [mm]B/(P\cap[/mm] B) [mm]\subseteq[/mm] A/(P) ist ja ein
> Quotientring. Um zu zeigen dass [mm]P\cap[/mm] B ein maximales Ideal
> in B ist, kann man auch zeigen dass [mm]B/(P\cap[/mm] B) ein Körper
> ist. Aber ich sehe hier keinen Weg um dies zu zeigen. Wie
> kann mir die Tatsache dass B artinsch und A noethersch ist
> hierbei helfen?
Nun, $P [mm] \cap [/mm] B$ ist ein Primideal in $B$. Da [mm] $\dim [/mm] B = 0$ ist ist es bereits ein maximales Ideal.
Also ist $B/(P [mm] \cap [/mm] B)$ ein Koerper und $A/P$ ist ein Integritaetsbereich, der $B/(P [mm] \cap [/mm] B)$ enthaelt (genauer: einen Ring enthaelt der isomorph dazu ist). Da $B$ ganz ueber $A$ ist folgt, dass jedes Element aus $A/P$ Nullstelle eines normierten Polynoms in $(B/(P [mm] \cap [/mm] B))[X]$ ist.
Nimmst du zu $x [mm] \in [/mm] A/P$ ein Polynom $f [mm] \in [/mm] (B/(P [mm] \cap [/mm] B))[X]$ minimalsten Grades mit $f(x) = 0$, so kannst du zeigen das $f$ irreduzibel sein muss: insbesondere ist der konstante Term von $f$ nicht 0 (ausser fuer $x = 0$). (Dazu brauchst du, dass $A/P$ ein Int'bereich ist.)
Damit wiederum kannst du zeigen, dass $x$ ein Inverses in $A/P$ hat, welches sich als polynomieller Ausdruck in $x$ schreiben laesst mit Koeffizienten in $B/(B [mm] \cap [/mm] P)$. (Das hast du evtl. in der linearen Algebra schonmal fuer Matrizen gesehen.)
Damit folgt dann, dass $A/P$ ein Koerper ist und somit $P$ ein Maximalideal.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:47 Fr 20.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Hallo Felix,
auch für diese Antwort vielen Dank. 
Auch von ihr habe ich mal wieder einiges lernen können.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Di 17.01.2012 | | Autor: | Vilietha |
Also ich bin nun ein wenig weiter gekommen.
Es scheint mir dass dim(A)=0 <=> jedes Primideal ist ein maximales Ideal in A.
In der Vorlesung hatten wir den Satz dass wenn p ein Primideal in A (ganz über B) ist, dann ist p ein maximales Ideal in A <=> p [mm] \cap [/mm] B ist ein maximales Ideal in B.
Aber wenn dies alles so ist, dann wäre ja alles völlig trivial. Denn da wir annehmen dass B artinsch ist, wissen wir dass p [mm] \cap [/mm] B ein maximales Ideal ist. Und somit muss es auch ein maximales Ideal in A sein.
Viele Grüße,
Vilietha
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mi 18.01.2012 | | Autor: | felixf |
moin Vielietha,
> Also ich bin nun ein wenig weiter gekommen.
> Es scheint mir dass dim(A)=0 <=> jedes Primideal ist ein
> maximales Ideal in A.
genau.
> In der Vorlesung hatten wir den Satz dass wenn p ein
> Primideal in A (ganz über B) ist, dann ist p ein
> maximales Ideal in A <=> p [mm]\cap[/mm] B ist ein maximales Ideal
> in B.
>
> Aber wenn dies alles so ist, dann wäre ja alles völlig
> trivial. Denn da wir annehmen dass B artinsch ist, wissen
> wir dass p [mm]\cap[/mm] B ein maximales Ideal ist. Und somit muss
> es auch ein maximales Ideal in A sein.
Sieht gut aus so. Trivial ist es aber erst, wenn man die Puzzleteile zusammengesucht hat 
LG Felix
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