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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Di 18.02.2014 | | Autor: | ne1 |
| Aufgabe | | http://www.gute-mathe-fragen.de/93379/aus-einer-assoziativen-verknupfung-folgt-das-inverse |
Hallo,
meine Frage habe ich auf gute-mathe-fragen.de gestellt. Leider keine Antwort bekommen, deshalb hoffe ich, dass vielleicht Ihr mir weiter helfen könntet. Ich hoffe, dass es hier erlaubt ist die Aufgabe einfach als Link zu posten. Ansonsten kann ich die neu schreiben.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Di 18.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
was soll der erste Satz "Die Surjektivität der beiden Funktionen ist offensichtlich." ?
Die Surjektivität wird vorausgesetzt. Zu zeigen ist, dass dann die Gruppenaxiome (Einselement, Inverse) erfüllt sind.
Du hast die Surjektivität ja richtig "übersetzt" : Zu irgendzwei Elementen a,b aus G gibt es stets x und y aus G, die die Gleichungen $ x*a=b $ und $ a*y=b $ lösen. Insbesondere gibt es ein solches x, das die Gleichung $ x*a=a $ löst. Dieses x wird e genannt und ist ein "Privat-Links-Einselement" für a.
Anschließend wird nachgewiesen, dass dieses spezielle e auch für jedes andere [mm] b\in [/mm] G Links-Einselement ist.
Abschließend folgt die Bemerkung, dass wenn die Gleichung $ x*a=b $ immer lösbar ist, das natürlich auch für den speziellen Fall b=e zutrifft, es gibt also zu jedem a ein x mit $ x*a=e $, also ein Links-Inverses.
Die Tatsache, dass die Existenz einer Links-Eins und eines Links-Inversen zu jedem [mm] a\in [/mm] G die Existenz eines (links- und rechts-)neutralen Elementes sowie der Inversen impliziert, ist wohl schon an andere Stelle bewiesen worden.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 18.02.2014 | | Autor: | ne1 |
Sax, vielen Dank! Super Erklärung. Was mich verwirrt hat, ist zum einen die Surjektion. Jetzt weiss ich, dass sie Vorausgesetzt ist und zweitens ich dachte es ging nur um das inverse Element. Es ging jedoch um das neutrale und das inverse, was Du eigentlich schon super erklärt hast. Das einzige was mir vielleicht noch nicht so 100 % klar ist, ist Dein letzter Satz
>Die Tatsache, dass die Existenz einer Links-Eins und eines Links-Inversen zu jedem $ [mm] a\in [/mm] $ G die Existenz eines (links- und rechts-)neutralen Elementes sowie der Inversen impliziert, ist wohl schon an andere Stelle bewiesen worden.
So wie ich das verstanden habe, wir haben bewiesen, dass es ein (Links)neutrales und ein (Links)inverses gibt und damit sind die Axiome der Gruppe erfüllt. Ob es ein Rechts-neutrales / inverses Element gibt ist Erstmal egal. Das kann man sich aus den Axiomen der Gruppe relativ leicht herleiten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Di 18.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Sax, vielen Dank! Super Erklärung. Was mich verwirrt hat,
> ist zum einen die Surjektion. Jetzt weiss ich, dass sie
> Vorausgesetzt ist und zweitens ich dachte es ging nur um
> das inverse Element. Es ging jedoch um das neutrale und das
> inverse, was Du eigentlich schon super erklärt hast. Das
> einzige was mir vielleicht noch nicht so 100 % klar ist,
> ist Dein letzter Satz
>
> >Die Tatsache, dass die Existenz einer Links-Eins und eines
> Links-Inversen zu jedem [mm]a\in[/mm] G die Existenz eines (links-
> und rechts-)neutralen Elementes sowie der Inversen
> impliziert, ist wohl schon an andere Stelle bewiesen
> worden.
>
> So wie ich das verstanden habe, wir haben bewiesen, dass es
> ein (Links)neutrales und ein (Links)inverses gibt und damit
> sind die Axiome der Gruppe erfüllt. Ob es ein
> Rechts-neutrales / inverses Element gibt ist Erstmal egal.
> Das kann man sich aus den Axiomen der Gruppe relativ leicht
> herleiten.
Genau so hatte ich das auch gemeint, wobei es für einen Studienanfänger wohl eher relativ schwierig ist, sich das herzuleiten.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:36 Di 18.02.2014 | | Autor: | Loddar |
Hallo ne!
Was spricht eigentlich dagegen, in dem Form, in welchem man eine Frage stellt (und eine Antwort / Hilfe erhofft), auch diese Fragestellung direkt einzutippen?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:39 Mi 19.02.2014 | | Autor: | ne1 |
> Hallo ne!
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> Was spricht eigentlich dagegen, in dem Form, in welchem man
> eine Frage stellt (und eine Antwort / Hilfe erhofft), auch
> diese Fragestellung direkt einzutippen?
>
>
> Gruß
> Loddar
Das werde ich in der Zukunft tun.
Nochmal Vielen Dank.
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