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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:11 So 09.09.2007 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Hallo. Einen schönen Sonntag wünsche ich hier allen!!!
Wie haben als Hausaufgabe diese Aufgabe bekommen,nur leider habe ich keine Ahnung wie ich auf das Ergebnis kommen soll.
Danke im Voraus!
Die Aufgabe lautet:
f(x)= [mm] \bruch{ax^{2}-x}{x+1}
[/mm]
Welcher dieser Funktionen besitzt eine Asymptote, die durch den Punkt (3/1) geht? |
Ich bin mir nicht ganz sicher,aber ich glaube zu denken,dass ich mit Hilfe der 1.Ableitung zur Asymptote komme.
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Hallo amilade,
hmm, ich würde mal eine Polynomdivision machen
[mm] (ax^2-x):(x+1)=.....
[/mm]
Das liefert dir doch die Asymptote [mm] y_a, [/mm] der sich [mm] f_a [/mm] für [mm] x\to\infty [/mm] anschmiegt
Dann weißt du, dass der Punkt [mm] (x/y_a(x)) [/mm] =(3/1) auf der Asymptote liegt,
also einfach in die Asymptotengleichung einsetzen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 09.09.2007 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | | Eine Frage habe ich noch : wie sieht denn eine allgemeine Asymptotengleichung aus? |
> Hallo amilade,
>
> hmm, ich würde mal eine Polynomdivision machen
>
> [mm](ax^2-x):(x+1)=.....[/mm]
>
> Das liefert dir doch die Asymptote [mm]y_a,[/mm] der sich [mm]f_a[/mm] für
> [mm]x\to\infty[/mm] anschmiegt
>
> Dann weißt du, dass der Punkt [mm](x/y_a(x))[/mm] =(3/1) auf der
> Asymptote liegt,
>
> also einfach in die Asymptotengleichung einsetzen...
>
>
> LG
>
> schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 So 09.09.2007 | | Autor: | amilade |
Bei der Polynomdivision habe ich dieses Ergebnis raus,ist es richtig? [mm] ax+a+\bruch{a}{x}
[/mm]
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Jo hallo,
also
[mm] (\blue{ax^2}-x):(\red{x}+1)
[/mm]
1.Überlegung: wie oft passt [mm] \red{x} [/mm] in [mm] \blue{ax^2}? [/mm] Offenbar ax mal
[mm] (ax^2-x) [/mm] : [mm] (\red{x}+1)=ax
[/mm]
[mm] -(ax^2+ax)
[/mm]
__________
[mm] \blue{(-1-a)x}
[/mm]
2. Überlegung: wie oft passt nun [mm] \red{x} [/mm] in [mm] \blue{(-1-a)x}?
[/mm]
es passt (-1-a)mal (=-(1+a) mal)
Also
[mm] (ax^2-x) [/mm] : (x+1)=ax+(-1-a)
[mm] -(ax^2+ax)
[/mm]
__________
(-1-a)x
[mm] -\left((-1-a)x+(-1-a)\right)
[/mm]
____________
1+a
Also insgesamt: [mm] (ax^2-x):(x+1)=\underbrace{ax-(1+a)}_{=y_a(x)}+\underbrace{\frac{1+a}{x+1}}_{\to 0 \text{für} x\to\infty}
[/mm]
Kommste nun weiter?
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 So 09.09.2007 | | Autor: | amilade |
| Aufgabe | Ok jetzt habe ich das mit der Polynomdivision verstanden,hab auch mein Fehler entdeckt.Danke!
Aber ich weiß nicht was mir das jetzt bringt,wie ich jetzt damit zur Asymptote komme? |
> Jo hallo,
>
> also
>
> [mm](\blue{ax^2}-x):(\red{x}+1)[/mm]
>
> 1.Überlegung: wie oft passt [mm]\red{x}[/mm] in [mm]\blue{ax^2}?[/mm]
> Offenbar ax mal
>
> [mm](ax^2-x)[/mm] : [mm](\red{x}+1)=ax[/mm]
> [mm]-(ax^2+ax)[/mm]
> __________
> [mm]\blue{(-1-a)x}[/mm]
>
> 2. Überlegung: wie oft passt nun [mm]\red{x}[/mm] in
> [mm]\blue{(-1-a)x}?[/mm]
>
> es passt (-1-a)mal (=-(1+a) mal)
>
> Also
>
> [mm](ax^2-x)[/mm] : (x+1)=ax+(-1-a)
> [mm]-(ax^2+ax)[/mm]
> __________
> (-1-a)x
> [mm]-\left((-1-a)x+(-1-a)\right)[/mm]
> ____________
> 1+a
>
> Also insgesamt:
> [mm](ax^2-x):(x+1)=\underbrace{ax-(1+a)}_{=y_a(x)}+\underbrace{\frac{1+a}{x+1}}_{\to 0 \text{für} x\to\infty}[/mm]
>
> Kommste nun weiter?
>
> LG
>
> schachuzipus
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Hallo amilade,
nun wir haben die Funktion [mm] f_a(x)=\frac{ax^2-1}{x+1} [/mm] ja nur anders geschrieben,
nämlich als [mm] f_a(x)=ax-(1+a)+\frac{1+a}{x+1}
[/mm]
Wenn du dir das mal ganz genau anguckst, siehst du, dass für rieeeesengroße x der hintere Ausdruck [mm] \frac{1+a}{1+x} [/mm] gegen 0 geht,
die Funktion [mm] f_a(x)=\frac{ax^2-1}{x+1}
[/mm]
sich also im Unendlichen verhält wie ax-(1+a), das ist die Asymptote.
Die Funktion [mm] f_a [/mm] schmiegt sich der Gerade ax-(1+a) also beliebig nahe an.
ALso bezeichnen wir die Asymptote mit [mm] y_a(x)=ax-(1+a)
[/mm]
Nun kannst du aber locker dasjenige a berechnen, für das P=(3/1) auf der Asymptote liegt..
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 So 09.09.2007 | | Autor: | amilade |
DANKE!!!!!!!!!!!!!
Hab jetzt alles verstanden.
Schönen Tag noch
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