Asymptote mittels PD < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Gleichung der Asymptote von f.
a) f(x) = [mm] \bruch{3x-6}{x^2-4} [/mm] |
Hallo , um diese Aufgabe zu berechnen habe ich eine Polynomdivison gemacht :
f(x) = [mm] \bruch{3x-6}{x^2-4}
[/mm]
(3x-6) : [mm] (x^2-4) =\bruch{3}{x} -\bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}
[/mm]
[mm] -(3x-\bruch{12}{x})
[/mm]
---------------
-6 [mm] +\bruch{12}{x}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
das geht auch, ist aber sehr kopmpliziert.
Mit einigen wenigen Termunmformungen bekommst du:
$ [mm] f(x)=\bruch{3x-6}{x^2-4} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} [/mm] $
$ [mm] =\bruch{3}{(x+2)} [/mm] $
Und nun kannst du die Asymptote quasi direkt ablesen, denke ich.
Marius
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Alles klar , danke für die Korrektur.
Bei meiner "Version" ist [mm] \bruch{3}{x} [/mm] die Asymptote , oder nicht ?
Aber bei deiner Rechnung ist es [mm] \bruch{3}{(x+2)} [/mm] , oder ?
Oder habe ich einen Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Asymptote ist immer der "Nicht gebrochene" Teil, bei beiden Fällen also die x-Achse mit x=0
Marius
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Also wenn ich jetzt als Ergebnis der Polynomdivison das hier habe :
[mm] \bruch{3}{x} [/mm] - [mm] \bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}.
[/mm]
Dann muss ich , nach der Aufgabenstellung , die Gleichung der Asymptote angeben, also :
A(x) = [mm] \bruch{3}{x} [/mm] , so hatten wir das gelernt , der andere Teil der Polynomdivison ist ja der Rest , und 3/x ist ein Polynom.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Also wenn ich jetzt als Ergebnis der Polynomdivison das
> hier habe :
> [mm]\bruch{3}{x}[/mm] - [mm]\bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}.[/mm]
>
> Dann muss ich , nach der Aufgabenstellung , die Gleichung
> der Asymptote angeben, also :
>
> A(x) = [mm]\bruch{3}{x}[/mm] , so hatten wir das gelernt
Das kann nicht sein, 3/x ist ja schon gebrochen.
> , der
> andere Teil der Polynomdivison ist ja der Rest , und 3/x
> ist ein Polynom.
3/x ist kein Polynom.
Nach deiner Rechnung ist das Ergebnis:
[mm] f(x)=\underbrace{0}_{\text{Polynomanteil, also Asymptote}}+\underbrace{\bruch{3}{x}-\bruch{6+\bruch{12}{x}}{x^2-4}}_{\text{gebrochener Anteil}}$
[/mm]
Nach der Rechnung über das Faktorisieren:
[mm] f(x)=\underbrace{0}_{\text{Polynomanteil, also Asymptote}}+\underbrace{\bruch{3}{x+2}}_{\text{gebrochener Anteil}}$
[/mm]
Allgemein gilt: Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, ist die x-Achse die Asymptote.
Marius
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Achsoo , also darf die Asymptote nie gebrochen sein ?
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Hab jetzt mal diese Aufgabe hier berechnet :
f(x) = [mm] \bruch{3x^2+2x+1}{2x+1}
[/mm]
Polynomdivision:
[mm] (3x^2+2x+1) [/mm] : (2x+1) [mm] =\bruch{3x}{2} [/mm] + [mm] \bruch{x}{4x}+\bruch{0,75}{2x+1}
[/mm]
[mm] -(3x^2+\bruch{3x}{x})
[/mm]
----------------------
[mm] \bruch{x}{2}+1
[/mm]
[mm] -(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{4x})
[/mm]
-----------------------------------
[mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
Ist [mm] \bruch{3x}{2} [/mm] hier die Asymptote ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Hab jetzt mal diese Aufgabe hier berechnet :
>
> f(x) = [mm]\bruch{3x^2+2x+1}{2x+1}[/mm]
>
> Polynomdivision:
>
> [mm](3x^2+2x+1)[/mm] : (2x+1) [mm]=\bruch{3x}{2}[/mm] +
> [mm]\bruch{x}{4x}+\bruch{0,75}{2x+1}[/mm]
> [mm]-(3x^2+\bruch{3x}{x})[/mm]
> ----------------------
> [mm]\bruch{x}{2}+1[/mm]
> [mm]-(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{4x})[/mm]
> -----------------------------------
>
>
> [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
> Ist [mm]\bruch{3x}{2}[/mm] hier die Asymptote ?
fast.
Bedenke, [mm] \frac{x}{4x}=\frac{1}{4}.
[/mm]
Also ist die Asymptote:
[mm] a(x)=\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}
[/mm]
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Achsoo , also darf die Asymptote nie gebrochen sein ?
So ist es.
Marius
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Und gebrochen heißt in diesem Fall z.B
[mm] \bruch{10}{4x+3}
[/mm]
oder
[mm] \bruch{x^2}{x-3} [/mm]
Liege ich richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> Und gebrochen heißt in diesem Fall z.B
>
>
> [mm]\bruch{10}{4x+3}[/mm]
> oder
> [mm]\bruch{x^2}{x-3}[/mm]
>
> Liege ich richtig ?
Gebrochen heisst, es gibt einen Nenner.
[mm] \frac{10}{4x+3} [/mm] kann man micht weiter vereinfachen, also ist hier die X-Achse (a(x)=0) die Asymptote.
[mm] $\bruch{x^2}{x-3}=x+3+\frac{9}{x-3}$
[/mm]
Also ist a(x)=x+3 die Asymptote.
Marius
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Aber bei [mm] \bruch{3x}{2}+ \bruch{1}{4} [/mm] gibt es ja auch einen Nenner.
Ist es so , dass es keine Asymptote ist , sobald im Nenner x ist ?
Also zum Beispiel :
[mm] \bruch{7}{x} [/mm] oder [mm] \bruch{x^4+36x}{x+3}?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:44 So 18.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aber bei [mm]\bruch{3x}{2}+ \bruch{1}{4}[/mm] gibt es ja auch einen
> Nenner.
Ja, aber doch nur im Bruch davor.
>
> Ist es so , dass es keine Asymptote ist , sobald im Nenner
> x ist ?
>
> Also zum Beispiel :
>
> [mm]\bruch{7}{x}[/mm] oder [mm]\bruch{x^4+36x}{x+3}?[/mm]
Jein. Der Bruch muss "echt sein", also der Zählergrad =0 sein.
Also mache bei [mm] $\bruch{x^4+36x}{x+3}?$ [/mm] noch die Polynomdivision.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:47 So 18.12.2011 | | Autor: | pc_doctor |
Vielen Dank für die Antwort , wird mir jetzt klarer.
Dankeschön.
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