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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
Hallo,
Wozu benötige ich bei der Kurvendisskussion die Asymptode und wie berechne ich diese. Ich weiß das bei gebrochen Rationalen Funktionen dier Zähler 0 zu setzen ist. Um die Nullstelle auszurechnen.
Der Nenner ist dazu da um Polstellen auszurechnen.
Doch wie rechne ist Asymptoden aus.
Dazu einmal folgendes Bsp.:
f(x)= [mm] \bruch{x^4-x^2-2}{x^2-1}
[/mm]
Über eine Erklärung dazu würde ich mich sehr freuen. Bitte nicht die Lösung der Asymptode auf diese möchte ich gern selber kommen.
Amarradi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
[http://www.htwm.de/~mathe/forum/viewtopic.php?t=195]
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Bei gebrochenrationalen Funktionen brauchst du jeweils Grad des Zählers (Z) und Grad des Nenners (N).
Als "Grad" bezeichnet man die höchste vorkommende Hochzahl beim x.
Dann gilt:
Ist Z<N , dann gilt [mm]\limes_{|x|\rightarrow\infty} {f(x)} =0[/mm] , also ist dann die x-Achse die waagrechte Asymptote.
Kannst du auch rechnerisch nachweisen. Erweitere einfach im Zähler und Nenner mit [mm]\bruch{1}{x^Z}[/mm], wobei Z der Zählergrad ist. Jetzt sieht du, nach dem Kürzen in Zähler und Nenner, dass der Zähler gegen eine konstante Zahl geht, und der Nenner [mm]\to \infty[/mm] (oder [mm]\to -\infty[/mm]), also der Bruchwert [mm]\to 0[/mm].
Beispiel: [mm]f(x)=\bruch{x^3-6x+18}{x^5+x^4-3x^2+1} \cdot \bruch{\bruch{1}{x^3}}{\bruch{1}{x^3}}\ =\ \bruch{1-\bruch{6}{x^2}+\bruch{18}{x^3}}{x^2+x-\bruch{3}{x}+\bruch{1}{x^3}}[/mm].
Für [mm]|x| \to \infty[/mm] geht der Zähler [mm]\to 1[/mm], der Nenner [mm]\to \infty[/mm] (wegen dem [mm]x^2+x[/mm]), und somit der Bruchwert [mm]\to 0[/mm].
Ist Z=N, so hat die Funktion eine waagrechte Asymptote, die nicht die x-Achse ist (also parallel dazu, eine Gerade der Form [mm]y=c[/mm]).
Gegen welche waagrechte Asymptote das geht, siehst du an den Vorfaktoren des "höchsten x" in Zähler und Nenner. Wird klar am Beispiel.
Beispiel: [mm]f(x)=\bruch{-2x^3+4x+12}{8x^3-12x^2-17x} \cdot \bruch{\bruch{1}{x^3}}{\bruch{1}{x^3}}\ =\ \bruch{-2+\bruch{4}{x^2}+\bruch{12}{x^3}}{8-\bruch{12}{x}-\bruch{17}{x^2}}\ \to\ -\bruch{2}{8}\ =\ -\bruch{1}{4}[/mm].
Also brauchst du im Fall Z=N nur die Koeffizienten vom "höchsten x" in Zähler und Nenner durcheinander zu dividieren, und hast deine waagrechte Asymptote, in meinem Beispiel also [mm]y=-\bruch{1}{4}[/mm].
Gilt Z>N, so erhältst du eine schiefe Asymptote, wenn Z um 1 größer ist als N, und eine asymptotische Kurve, wenn Z um 2 oder mehr größer ist als N.
Berechnung ist nicht schwer.
Polynomdivision Z:N , und vom Ergebnis ist der ganzrationale Anteil (also alles, wo kein x im Nenner steht) deine schiefe Asymptote oder asymptotische Kurve.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:54 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Amarradi |
recht Herzlichen Dank für die beantwortung jetzt ist es klar und eigentlich auch ganz einfach
Danke
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