Attraktivität eines Fixpunkts < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Hallo,
bräuchte mal meinen Beweis korrekturgelesen bzw. Verbesserungs-/Verschönerungsvorschläge dafür (vor allem bei meinem Fall III bin ich mir noch etwas unsicher wegen den Formulierungen). Ich brauch den Beweis für eine Facharbeit, daher soll er möglichst "ordentlich" sein.
Ich möchte die Attraktivität eines Fixpunkts beweisen, bzw. genauer:
Sei [mm] (x_i)_{i\in\IN} [/mm] def. durch [mm] x_0\in(0,1), x_{i+1}=f(x_i), i\in\IN, [/mm]
wobei f(x)=mx(1-x), [mm] m\in(1,3).
[/mm]
z.z: Der Fixpunkt [mm] a=\bruch{m-1}{m} [/mm] zieht alle Punkte aus (0,1) an, d.h.
[mm] x_0\in(0,1)\Rightarrow\limes_{i\to\infty}x_i=a
[/mm]
Ich weiß, dass a der einzige Fixpunkt ist auf dem Intervall (0,1), und auch, dass er attraktiv ist, will aber eben jetzt noch zeigen, dass er wirklich alle Punkte "anzieht".
Da [mm] \left|f'(x)\right|=\left|m-2mx\right|<1\Leftrightarrow x\in\left(\bruch{m-1}{2m},\bruch{m+1}{2m}\right),
[/mm]
ist f kontrahierend auf diesem Intervall. Seien [mm] y:=\bruch{m-1}{2m}, z:=\bruch{m+1}{2m}.
[/mm]
Für [mm] m\in(1,3) [/mm] ist [mm] y\in\left(0,\bruch{1}{3}\right) [/mm] und [mm] z\in\left(\bruch{2}{3},1\right),
[/mm]
also y<z.
Nun unterscheide ich 3 Fälle:
I Sei [mm] x_0\in[z,1).
[/mm]
Da f(1)=0,
[mm] f(z)=\bruch{m^2-1}{4m}\in\left(0,\bruch{2}{3}\right)
[/mm]
und f monoton fallend auf [z,1],
ist [mm] x_1=f(x_0)\notin[z,1).
[/mm]
Dieser Fall kann daher auf die folgenden Fälle zurückgeführt werden.
II Sei [mm] x_0\in(y,z).
[/mm]
Da für [mm] x\in(y,z) [/mm] gilt |f'(x)|>1, ist f kontrahierend auf (y,z).
Wegen [mm] a\in(y,z) [/mm] folgt dann mit dem Banachschen Fixpunktsatz
[mm] \limes_{i\to\infty}x_i=a.
[/mm]
III Sei [mm] x_0\in(0,y]
[/mm]
Da [mm] y<\bruch{1}{3} [/mm] ist [mm] f(x)<\bruch{2}{3} [/mm] für alle [mm] x\in(0,y], m\in(1,3). [/mm] (1)
Da für [mm] x\in(y,z) [/mm] gilt f'(x)>1, ist [mm] (x_i) [/mm] in diesem Bereich monoton wachsend, d.h. es gilt
[mm] x_i\in(0,y]\Rightarrow x_{i+1}>x_i [/mm] (2)
Sei g(x):=f(x)-x=mx(1-x)-x
Dann ist g'(x)=f'(x)-1>1-1>0
und damit ist g (und damit der Abstand zweier aufeinanderfolgender Folgenglieder [mm] x_i [/mm] und [mm] x_{i+1}) [/mm] auf (0,y) monoton wachsend.
Deshalb und wegen (2) existiert ein [mm] k\in\IN, [/mm] sodass
[mm] x_k\in(0,y] [/mm] und [mm] x_{k+1}>y, [/mm] also [mm] x_{k+1}\notin[0,y]
[/mm]
Wegen (1) folgt weiterhin, dass [mm] x_{k+1}
also dass [mm] x_{k+1}\in(y,z).
[/mm]
Dieser Fall kann daher auf Fall II zurückgeführt werden.
q.e.d.
Bin für jede Hilfe dankbar,
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:49 Mo 22.03.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Argumente sind fast in Ordnung.
Wenn du am Anfang sagst, wie dein Beweis laufen soll, wird er übersichtlicher.
fang an, mit [mm] x\in [/mm] (y,z) und zeige a) dass der Fixpunkt auch in (y.z) ist das hast du nicht gezeigt, sondern nur behauptet! und dass |f'|<1 (da hast du das falsche Zeichen stehen- ist wohl ein Tipfehler.)
dann musst du zeigen, dass f(x) wieder in dem Intervall liegt, du hast nur gezeigt, dass ds Intervall kleiner wird, nicht dass es in sich abgebildet wird.
Dann sage was du zeigen willst: wenn [mm] x_0 [/mm] nicht in (y,z) liegt, wird es nach endlich vielen Schritten drin liegen.
Dann bring die 2 Teile des Beweises dafür.
In ner Facharbeit würd ich das noch graphisch ergänzen!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen und ich stimme dir bei allem zu :)
Ja, das >1 war verschrieben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:30 Di 23.03.2010 | | Autor: | Cybrina |
Ich habe meinen Beweis überarbeitet und gleich richtig geTeXt. Es stellte sich heraus, dass er zu allgemein war, und in Fallunterscheidungen ausgeufert wäre. Daher führe ich ihn jetzt nur noch exemparisch für [mm] m=\bruch{5}{2}.
[/mm]
Könnte mal jemand über ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") den Beweis schauen, ob ich "ordentlich" argumentiere?
Danke schonmal nochmal :)
(Die Beweisskizze darin sieht etwas verpixelt aus, beim Ausdrucken ist es aber ordentlich - schon probiert)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 31.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
