Auf Stetigkeit prüfen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] g:\IR^3\to\IR
[/mm]
[mm] g(x,y,z):=\begin{cases} \bruch{sin(y^2)+z}{x^2+y^2+z^2}, & \mbox{} (x,y,z)\not=(0,0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y,z)=(0,0,0) \end{cases}
[/mm]
a) Untersuche auf Stetigkeit in [mm] \IR^3
[/mm]
b) Untersuche ob g partiell differenzierbar in (0,0,0) ist. |
a) Wenn ich auf Stetigkeit untersucht habe, dann hab ich mittels berschiedener geraden angenähert und egschaut ob der grenzwert gleich ist, als z.B. erst x=o, dann y=0 und dann x=y
Aber das geht hier ja nicht wenn ich 3 Variablen habe. Wie mache ich das dann?
b) kann mir nochmal jemand erklären wie ich im Nullpunkt partiell differenziere? setze ich erst y=0 und differenziere nach x, dann z=0 und differenziere nach y? Oder wie macht man das?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mi 25.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]g:\IR^3\to \R[/mm]
>
> [mm]g(x,y,z):=\begin{cases} \bruch{sin(y^2)+z}{x^2+y^2+z^2}, & \mbox{} (x,y,z)\not=(0,0,0) \\ 0, & \mbox{} (x,y,z)=(0,0,0) \end{cases}[/mm]
>
> a) Untersuche auf Stetigkeit in [mm]\IR^3[/mm]
>
> b) Untersuche ob g partiell differenzierbar in (0,0,0)
> ist.
> a) Wenn ich auf Stetigkeit untersucht habe, dann hab ich
> mittels berschiedener geraden angenähert und egschaut ob
> der grenzwert gleich ist, als z.B. erst x=o, dann y=0 und
> dann x=y
>
> Aber das geht hier ja nicht wenn ich 3 Variablen habe. Wie
> mache ich das dann?
Wenn Du genau hinschaust, stellst Du fest, dass
$ [mm] f(0,0,z)=\bruch{1}{z}$ [/mm] ist, für z [mm] \ne [/mm] 0.
Kann nun f in (0,0,0) stetig sein ?
>
> b) kann mir nochmal jemand erklären wie ich im Nullpunkt
> partiell differenziere? setze ich erst y=0 und
> differenziere nach x, dann z=0 und differenziere nach y?
> Oder wie macht man das?
Für partielle Diferenzierbarkeit nach x in (0,0,0) mußt Du untersuchen, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(t,0,0)-f(0,0,0)}{t}
[/mm]
existiert oder nicht.
Für partielle Diferenzierbarkeit nach y in (0,0,0) mußt Du untersuchen, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(0,t,0)-f(0,0,0)}{t}
[/mm]
existiert oder nicht.
Für partielle Diferenzierbarkeit nach z in (0,0,0) mußt Du untersuchen, ob der Grenzwert
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(0,0,t)-f(0,0,0)}{t}
[/mm]
existiert oder nicht.
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Danke, partielle Differenzierbarkeit ist mir nun klar. Das hab ich verstanden.
Aber ich habe nochmal eine Frage zur Überprüfung der Stetigkeit:
Ich muss ja nur im Nullpunkt f(x,y,z)=(0,0,0) überprüfen ,oder???
(y,z)=0
[mm] \limes_{(x,0,0)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{0}{x^2}=0
[/mm]
(x,z)=0
[mm] \limes_{(0,y,0)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(y^2)}{y^2}=0
[/mm]
(x,y)=0
[mm] \limes_{(0,0,z)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{z}{z^2}=0
[/mm]
x=y=z
[mm] \limes_{(x,x,x)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(x^2)+x}{x^2+x^2+x^2}=\limes_{(x,x,x)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(x^2)+x}{3x^2}=0
[/mm]
Da die grenzwerte übereinstimmen ist die Funktion im Nullpunkt stetig.
Die Funktion ist auch stetig differenzierbar, da Grenzwerte existieren.
Okay soweit?
MfG
Mathegirl
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> Danke, partielle Differenzierbarkeit ist mir nun klar. Das
> hab ich verstanden.
>
>
> Aber ich habe nochmal eine Frage zur Überprüfung der
> Stetigkeit:
>
> Ich muss ja nur im Nullpunkt f(x,y,z)=(0,0,0) überprüfen
> ,oder???
>
> (y,z)=0
> [mm]\limes_{(x,0,0)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{0}{x^2}=0[/mm]
>
> (x,z)=0
> [mm]\limes_{(0,y,0)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(y^2)}{y^2}=0[/mm]
>
> (x,y)=0
> [mm]\limes_{(0,0,z)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{z}{z^2}=0[/mm]
>
>
> x=y=z
> [mm]\limes_{(x,x,x)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(x^2)+x}{x^2+x^2+x^2}=\limes_{(x,x,x)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(x^2)+x}{3x^2}=0[/mm]
>
> Da die grenzwerte übereinstimmen ist die Funktion im
> Nullpunkt stetig.
Hallo,
bist Du nicht irritiert?
Hast Du mit freds Antwort mehr getan als bloß die Buchstaben angeschaut?
Wenn ja: was?
Nochmal: zum Beweis (!!!) der Stetigkeit reicht es nicht, ein paar Folgen hinzuschreiben, für welche die Folge der Funktionswerte denselben Grenzwert hat. Für den Beweis der Stetigkeit muß man zeigen, daß dies für alle Folgen zutrifft und nicht nur für ein paar ausgewählte.
Aber die Situation ist noch dramatischer: bei drei Deiner Folgen bekomme ich andere Ergebnisse...
> Die Funktion ist auch stetig differenzierbar, da Grenzwerte
> existieren.
Was meinst Du damit?
Von welchen Grenzwerten redest Du?
(Ist danach gefragt, ob die Funktion stetig differenzierbar ist? Oder wie lautet die Frage im O-Ton?)
LG Angela
>
>
> Okay soweit?
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:36 Do 26.04.2012 | | Autor: | Mathegirl |
Ich soll auf Stetigkeit prüfen. Dann hab ich leider keine Ahnung wie ich das machen soll...Verstehe es einfach nicht!
MfG
Mathegirl
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> Ich soll auf Stetigkeit prüfen. Dann hab ich leider keine
> Ahnung wie ich das machen soll...Verstehe es einfach
> nicht!
Hallo,
Du hast Dir überhaupt nicht die Zeit genommen, Dich mit meinem Post auseinanderzusetzen. Das schaffst Du nämlich nicht in sieben Minuten, zumal die Beschäftigung mit Freds Post auch noch aussteht.
Ich habe Dir gesagt, wie man Stetigkeit nachweist, ich habe Dir an anderer Stelle gesagt, wie man Stetigkeit widerlegt,
ich habe Dir gesagt, daß Deine Grenzwerte nicht stimmen, und Fred hat nun doch in seinem Beitrag auch mehr als angedeutet, welches die Lösung des Problems ist.
Es ist doch so: wenn Du nicht bereit bist, Dich mit den Antworten zu beschäftigen, brauchst Du auch keine Fragen zu stellen.
Kannst Du Dir vorstellen, daß es Mühe macht, auf Fragen zu antworten? Und Zeit kostet?
Es ist ziemlich frustrierend, wenn dann überhaupt nicht auf das Geschriebene eingegangen wird...
> Ich soll auf Stetigkeit prüfen. Dann hab ich leider keine
> Ahnung wie ich das machen soll...Verstehe es einfach
> nicht!
Vielleicht hilfst Du uns mal ein wenig und sagst uns, was Du jetzt von uns erwartest. Ich weiß es nämlich nicht von allein.
LG Angela
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Das hab ich gemacht aber ich bin einfach irritiert! weil in den Übungen ahben wir auf diese Weise Stetigkeit gezeigt oder widerlet.
"...daß dies für alle Folgen zutrifft und nicht nur für ein paar ausgewählte"
Das hab ich mir auch klar gemacht! aber da weiß ich nicht und verstehe ich auch nicht wie ich das zeige, dass das für alle Folgen zutrifft.
Ich lese Beiträge schon genau, nur ich verstehe es nicht. Auch wenn ich nen tag drüber grübele. Ich habe keine Ahnung wie ich das für alle Folgen zeige! Bei meiner anderen Folge konnte ich sin und cosinus einsetzen. Hier auch? Warum?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Mathegirl,
> Ich lese Beiträge schon genau, nur ich verstehe es nicht.
> Auch wenn ich nen tag drüber grübele.
Dann solltest du nachfragen, was dir genau an den Beiträgen der Antwortenden unklar ist. Wichtig finde ich, dass du auf die Antworten konkret eingehst.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Das hab ich gemacht aber ich bin einfach irritiert! weil in
> den Übungen ahben wir auf diese Weise Stetigkeit gezeigt
> oder widerlegt.
Mit einem Vorgehen wie in https://matheraum.de/read?i=883753 kann man keine Stetigkeit nachweisen, sondern lediglich widerlegen.
> "...daß dies für alle Folgen zutrifft und nicht nur für
> ein paar ausgewählte"
> Das hab ich mir auch klar gemacht!
Wie das? Lass uns an deinen Überlegungen teilhaben. Da muss nämlich irgendwo ein Fehler sein.
> aber da weiß ich nicht
> und verstehe ich auch nicht wie ich das zeige, dass das
> für alle Folgen zutrifft.
> Ich habe keine
> Ahnung wie ich das für alle Folgen zeige!
Um z.B. die Stetigkeit von
[mm] $f\colon\IR^2\to\IR,\quad f(x)=\begin{cases} \bruch{\sin(x^2+y^2)}{x^2+y^2} & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \\ 1, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \end{cases}$
[/mm]
im Punkte (0,0) nachzuweisen, kann man wie folgt vorgehen:
Sei [mm] $((x_n,y_n))_{n\in\IN}$ [/mm] eine gegen $(0,0)$ konvergente Folge in [mm] $\IR^2$ [/mm] mit [mm] $x_n\not=0$ [/mm] und [mm] $y_n\not=0$ [/mm] für alle. Zu zeigen ist, dass [mm] $(f(x_n,y_n))_{n\in\IN}$ [/mm] gegen f(0,0), also gegen 1 konvergiert.
[mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(y_n)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergieren jeweils gegen 0. Also konvergiert die Folge der [mm] $z_n:=x_n^2+y_n^2=x_n*x_n+y_n*y_n$ [/mm] nach den Rechenregeln für konvergente Folgen gegen 0*0+0*0, also gegen 0.
Wegen [mm] $\lim_{z\to0}\bruch{\sin z}{z}=1$ [/mm] konvergiert somit die Folge der [mm] $f(x_n,y_n)=\bruch{\sin z_n}{z_n}$ [/mm] gegen 1.
> Bei meiner
> anderen Folge konnte ich sin und cosinus einsetzen.
Um welche Folge / welche Funktion geht es?
Angela schrieb dir doch, dass drei deiner Grenzwertbetrachtungen falsch waren. Du könntest darauf eingehen, indem du deine Grenzwertbetrachtungen überprüfst und, wenn du immer noch zum gleichen Ergebnis kommst, schreibst, wie du darauf kommst. Dann könnte man darauf wiederum eingehen.
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danke fürs erklären.
Mit meinem Vorgehen indem ich x=0 oder y=0 setze kann ich nur Stetigkeit widerlegen? Und wenn der gleiche grenzwert bei den 3 Folgen raus kommt? Mich irritiert einfach, dass wir das so in der Übung gezeigt haben, also mit dem Verfahre gezeigt haben dass eine Funktion stetig ist.
> Sei [mm]((x_n,y_n))_{n\in\IN}[/mm] eine gegen [mm](0,0)[/mm] konvergente
> Folge in [mm]\IR^2[/mm] mit [mm]x_n\not=0[/mm] und [mm]y_n\not=0[/mm] für alle. Zu
> zeigen ist, dass [mm](f(x_n,y_n))_{n\in\IN}[/mm] gegen f(0,0), also
> gegen 1 konvergiert.
>
> [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergieren jeweils
> gegen 0. Also konvergiert die Folge der
> [mm]z_n:=x_n^2+y_n^2=x_n*x_n+y_n*y_n[/mm] nach den Rechenregeln für
> konvergente Folgen gegen 0*0+0*0, also gegen 0.
Wie komme ich darauf? Wi ist hier Sinus geblieben??
> Wegen [mm]\lim_{z\to0}\bruch{\sin z}{z}=1[/mm] konvergiert somit die
> Folge der [mm]f(x_n,y_n)=\bruch{\sin z_n}{z_n}[/mm] gegen 1.
Wo bekomme ich die Folge [mm] z_n [/mm] her?
Das ist wohl das Problem, dass ich noch nicht richtig verstanden habe wie man Stetigkeit zeigt, das es da kein festes Schema gibt zum abarbeiten.
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Mit meinem Vorgehen indem ich x=0 oder y=0 setze kann ich
> nur Stetigkeit widerlegen? Und wenn der gleiche grenzwert
> bei den 3 Folgen raus kommt?
Auch dann muss die Funktion nicht stetig in (0,0,0) sein.
Betrachte etwa
[mm] $f\colon\IR^3\to\IR,\quad f(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{für } x,y,z\not=0 \\ 0, & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
die an der Stelle (x,y,z) genau dann den Wert 0 annimmt, wenn mindestens einer der Werte x,y und z den Wert 0 hat.
Betrachte die Folge [mm] $((\bruch1n,\bruch1n,\bruch1n))_{n\in\IN}$, [/mm] um die Stetigkeit von f in $(0,0,0)$ zu widerlegen.
Die drei von dir betrachteten Grenzwerte existieren jedoch und sind $0=f(0,0,0)$.
> Mich irritiert einfach, dass
> wir das so in der Übung gezeigt haben, also mit dem
> Verfahre gezeigt haben dass eine Funktion stetig ist.
Dann ist der/die Übungsleiter(in) einem Irrtum aufgesessen.
> > Sei [mm]((x_n,y_n))_{n\in\IN}[/mm] eine gegen [mm](0,0)[/mm] konvergente
> > Folge in [mm]\IR^2[/mm] mit [mm]x_n\not=0[/mm] und [mm]y_n\not=0[/mm] für alle. Zu
> > zeigen ist, dass [mm](f(x_n,y_n))_{n\in\IN}[/mm] gegen f(0,0), also
> > gegen 1 konvergiert.
> >
> > [mm](x_n)_{n\in\IN}[/mm] und [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] konvergieren jeweils
> > gegen 0. Also konvergiert die Folge der
> > [mm]z_n:=x_n^2+y_n^2=x_n*x_n+y_n*y_n[/mm] nach den Rechenregeln für
> > konvergente Folgen gegen 0*0+0*0, also gegen 0.
>
> Wie komme ich darauf? Wi ist hier Sinus geblieben??
Eigentlich interessiert uns die Folge der
[mm] $f(x_n,y_n)=\bruch{\sin(x_n^2+y_n^2)}{x_n^2+y_n^2}$.
[/mm]
Aber um sie auf Konvergenz zu untersuchen, benötige ich als Zwischenschritt das Konvergenzverhalten der Folge der [mm] x_n^2+y_n^2 [/mm] (die ich mit [mm] z_n [/mm] abgekürzt habe). Der Sinus kommt als nächstes ins Spiel.
> > Wegen [mm]\lim_{z\to0}\bruch{\sin z}{z}=1[/mm] konvergiert somit die
> > Folge der [mm]f(x_n,y_n)=\bruch{\sin z_n}{z_n}[/mm] gegen 1.
>
> Wo bekomme ich die Folge [mm]z_n[/mm] her?
Abkürzende Schreibweise für [mm] $x_n^2+y_n^2$, [/mm] die ich vorher eingeführt habe. Du könntest genauso gut überall [mm] $z_n$ [/mm] durch [mm] $x_n^2+y_n^2$ [/mm] ersetzen.
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Mir ist trotzdem noch nicht klar wie man diese Folge auf Stetigkeit prüft. Auch Kommilitonen konnten das nicht erklären, das scheint wohl nicht nur bei mir unverstanden zu sein.
Kann ich hier eine Nullfolge wählen, die für x,y,z einsetzen und prüfen? Aber dann hab ich wieder das Problem, dass ich nur auf den Achsen geprüft habe und nicht überall. Kann ich auch hier sinus und cosinus verwenden?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:43 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Mir ist trotzdem noch nicht klar wie man diese Folge Funktion auf
> Stetigkeit prüft.
Welche der drei Funktionen, um die es in diesem Thread schon ging, meinst du?
> Kann ich hier eine Nullfolge wählen, die für x,y,z
> einsetzen und prüfen?
Zum Widerlegen der Stetigkeit ja, zum Beweisen der Stetigkeit nein.
> Aber dann hab ich wieder das
> Problem, dass ich nur auf den Achsen geprüft habe und
> nicht überall. Kann ich auch hier sinus und cosinus
> verwenden?
Ich glaube jetzt die Stelle gefunden zu haben, auf die du dich beziehst: leduart nannte dir einen Trick zur Untersuchung der Stetigkeit, der sinus und cosinus verwendete. Ich sehe diese Vorgehensweise (die ich da zum ersten Mal kennengelernt habe) kritisch aus folgenden Gründen:
1. Sie funktioniert nur bei Funktionen mit Definitionsbereich [mm] $\IR^2$ [/mm] und ohne Abwandlung nur für die Stelle $(0,0)$.
2. Sie erscheint mir in den wenigsten Fällen einfacher als die direktere Vorgehensweise.
3. Sie ist im Allgemeinen alleine nicht hinreichend zum Nachweis der Stetigkeit, wie ich mir an einem Beispiel überlegt habe.
Ich denke daher, dass du dich nicht weiter an diesem speziellen Kniff aufhalten solltest.
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Okay, aber mir ist auch bei dieser Funktion das allgemeine Vorgehen nicht ganz klar. [mm] f(x,y,z)=\bruch{sin(y^2)+z}{x^2+y^2+z^2}
[/mm]
Kann ich für x,y,z Nullfolgen wie z.B. [mm] \bruch{1}{n} [/mm] einsetzen um auf Stetigkeit zu überprüfen?
Mir ist das allgemeine Vorgehen nicht klar, zudem ich ja komplett um den Nullpunkt betrachten muss. daher dachte ich mit sin und cos wäre das ein Anfang. Wie kann man das noch anders machen?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 Do 26.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, aber mir ist auch bei dieser Funktion das allgemeine
> Vorgehen nicht ganz klar.
> [mm]f(x,y,z)=\bruch{sin(y^2)+z}{x^2+y^2+z^2}[/mm]
Soll f(0,0,0)=0 sein?
> Kann ich für x,y,z Nullfolgen wie z.B. [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> einsetzen um auf Stetigkeit zu überprüfen?
Wenn du es schaffst, damit die Stetigkeit zu widerlegen, ja.
Wenn du die Stetigkeit beweisen möchtest, musst du eine beliebige gegen (0,0,0) konvergente Folge [mm] $((x_n,y_n,z_n))_{n\in\IN}$ [/mm] betrachten.
> Mir ist das allgemeine Vorgehen nicht klar, zudem ich ja
> komplett um den Nullpunkt betrachten muss. daher dachte ich
> mit sin und cos wäre das ein Anfang. Wie kann man das noch
> anders machen?
Du kannst ja grundsätzlich mit deinen Beispielfolgen starten, um zu schauen, ob du die Stetigkeit damit widerlegt bekommst.
Anschließend kannst du den Versuch starten, mit einer allgemeinen Folge den Nachweis der Stetigkeit zu führen.
Anfangen kannst du einen Nachweis der Stetigkeit mit:
"Sei [mm] $((x_n,y_n,z_n))_{n\in\IN}$ [/mm] eine gegen (0,0,0) konvergente Folge."
Jetzt kommt der Teil, für den ich kein Patentrezept habe...
Schließlich: "Also konvergiert [mm] $(f(x_n,y_n,z_n))_{n\in\IN}$ [/mm] gegen $f(0,0,0)$."
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Fr 27.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Okay, aber mir ist auch bei dieser Funktion das allgemeine
> Vorgehen nicht ganz klar.
> [mm]f(x,y,z)=\bruch{sin(y^2)+z}{x^2+y^2+z^2}[/mm]
>
> Kann ich für x,y,z Nullfolgen wie z.B. [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> einsetzen um auf Stetigkeit zu überprüfen?
Gestern hatte ich schon einen Herzinfarkt bekommen, jetzt schon wieder !!
Was habe ich Dir geschrieben ? Das:
es ist f(0,0,z)=1/z für z [mm] \ne [/mm] 0.
Dann ist z.B. f(0,0,1/n)=n für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Kann f in (0,0,0) stetig sein ?
FRED
>
> Mir ist das allgemeine Vorgehen nicht klar, zudem ich ja
> komplett um den Nullpunkt betrachten muss. daher dachte ich
> mit sin und cos wäre das ein Anfang. Wie kann man das noch
> anders machen?
>
> MfG
> Mathegirl
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nein, kann nicht stetig sein!
Aber wenn ich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] einsetze muss ich das ja überall tun!
[mm] f(\bruch{1}{n},0,0)=\bruch{0}{\bruch{1}{n}^2}=0
[/mm]
f(0, [mm] \bruch{1}{n},0)=\bruch{sin(\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}^2}= [/mm] 0
[mm] f(0,0\bruch{1}{n})=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}^2}= [/mm] n
Daran erkenne ich ja, dass die Funktion im Nullpunkt nicht stetig ist.
Die Funktion ist auch nicht in (0,0,0) partiell differenzierbar!
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:16 Fr 27.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> nein, kann nicht stetig sein!
>
> Aber wenn ich [mm]\bruch{1}{n}[/mm] einsetze muss ich das ja
> überall tun!
Nein. Das mußt Du nicht.
>
> [mm]f(\bruch{1}{n},0,0)=\bruch{0}{\bruch{1}{n}^2}=0[/mm]
>
> f(0,
> [mm]\bruch{1}{n},0)=\bruch{sin(\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}^2}=[/mm]
> 0
Wieso ist das = 0 ?
>
>
> [mm]f(0,0\bruch{1}{n})=\bruch{\bruch{1}{n}}{\bruch{1}{n}^2}=[/mm] n
>
>
> Daran erkenne ich ja, dass die Funktion im Nullpunkt nicht
> stetig ist.
>
> Die Funktion ist auch nicht in (0,0,0) partiell
> differenzierbar!
Wieso ? Begründung ?
FRED
>
>
> MfG
> mathegirl
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0 durch irgendwas ist doch immer Null!!!!
oder was meinst du?
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Fr 27.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> 0 durch irgendwas ist doch immer Null!!!!
> oder was meinst du?
Du hast gechrieben: [mm] \bruch{sin(\bruch{1}{n^2})}{\bruch{1}{n^2}}=0
[/mm]
Das ist falsch
FRED
>
>
> MfG
> Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:38 Do 26.04.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke, partielle Differenzierbarkeit ist mir nun klar. Das
> hab ich verstanden.
>
>
> Aber ich habe nochmal eine Frage zur Überprüfung der
> Stetigkeit:
>
> Ich muss ja nur im Nullpunkt f(x,y,z)=(0,0,0) überprüfen
> ,oder???
>
> (y,z)=0
> [mm]\limes_{(x,0,0)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{0}{x^2}=0[/mm]
>
> (x,z)=0
> [mm]\limes_{(0,y,0)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(y^2)}{y^2}=0[/mm]
>
> (x,y)=0
> [mm]\limes_{(0,0,z)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{z}{z^2}=0[/mm]
>
>
> x=y=z
> [mm]\limes_{(x,x,x)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(x^2)+x}{x^2+x^2+x^2}=\limes_{(x,x,x)\rightarrow (0,0,0)}\bruch{sin(x^2)+x}{3x^2}=0[/mm]
>
> Da die grenzwerte übereinstimmen ist die Funktion im
> Nullpunkt stetig.
>
> Die Funktion ist auch stetig differenzierbar, da Grenzwerte
> existieren.
>
>
> Okay soweit?
Nein, ganz und gar nicht. Das Hat Angela Dir ja schon gesagt.
Ehrlich gesagt bin ich sprachlos... und wieder mal nahe an einem Herzinfarkt !
Wenn ich obiges lese, denke ich mir: ist unser Mathegirl eigentlich überlebensfähig ?
Ich stelle mir gerade vor, dass bei Dir zuhause ein Glühbirne defekt ist und Du als Ersatz eine Karotte in die Fassung schraubst.
Gute Nacht.
FRED
>
> MfG
> Mathegirl
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