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Forum "Folgen und Reihen" - Auf konvergenz untersuchen
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Auf konvergenz untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:10 So 04.11.2007
Autor: Paul1985

Aufgabe
Untersuchen Sie die Folgen auf konvergenz und begründen Sie:

1.) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]
2.) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^n [/mm]

[mm] n\in\\IN [/mm]

Hallo :)

mit google hab ich herausgefunden konvergent = [...] bedeutet allgemein Annäherung [...]

nun habe ich für n die Werte 1 , 101, 1000 eingesetzt um zu schauen was passiert.

bei 1.) verläuft der Wert gegen 0
bei 2.) wechselt es zwischen -1 und 1.

D.h. 1.) ist konvergent, da für große n das Ergebnis gegen 0 geht
2.) ist nicht konvergent, da mir nur -1 und 1 als Lösung(smenge?) haben.

sollte dies richtig sein,
wie schreibe ich es bei der 1.) formal auf?

[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm]  ?


Gruß und danke :)

        
Bezug
Auf konvergenz untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:35 So 04.11.2007
Autor: Dave11


> Untersuchen Sie die Folgen auf konvergenz und begründen
> Sie:
>  
> 1.) [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]
>  2.) [mm]a_{n}[/mm] = [mm](-1)^n[/mm]
>  
> [mm]n\in\\IN[/mm]
>  Hallo :)
>  
> mit google hab ich herausgefunden konvergent = [...]
> bedeutet allgemein Annäherung [...]
>  
> nun habe ich für n die Werte 1 , 101, 1000 eingesetzt um zu
> schauen was passiert.

> bei 1.) verläuft der Wert gegen 0
>  bei 2.) wechselt es zwischen -1 und 1.

> D.h. 1.) ist konvergent, da für große n das Ergebnis gegen
> 0 geht

Richtig

>  2.) ist nicht konvergent, da mir nur -1 und 1 als
> Lösung(smenge?) haben.

Richtig, mann sagt dazu divergent.
  

> sollte dies richtig sein,
>  wie schreibe ich es bei der 1.) formal auf?
>  

Konvergiert [mm] (a_n) [/mm] gegen a,so nennt man a den Grenzwert oder den Limes der Folge und schreibt

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a [/mm]

[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm]


MFG Dave


Bezug
                
Bezug
Auf konvergenz untersuchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 So 04.11.2007
Autor: Paul1985

Danke Dave für Deine Hilfe

okey, meine 1 ist also divigent, da sie gegen 0 läuft.
gegen was läuft aber meine 2 ?

Ferner habe ich hier noch 2 Aufgaben. Die eine läuft mir gegen unendlich, die andere gegen 1.
Bei letzerer, je höher n ist , desto mehr gehe ich Richtung 0.99999 ....
wie nenne ich diese 2 dann?


Bezug
                        
Bezug
Auf konvergenz untersuchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:53 So 04.11.2007
Autor: Dave11


> Danke Dave für Deine Hilfe
>  
> okey, meine 1 ist also divigent, da sie gegen 0 läuft.
>  gegen was läuft aber meine 2 ?

Nein , bei aufgabe 1)  [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{n}}=0 [/mm] ,also konvergent gegen 0

Bei Aufgabe 2) schreibst du einfach Die Folge [mm] a_n=(-1)^n [/mm] divergiert.




>  
> Ferner habe ich hier noch 2 Aufgaben. Die eine läuft mir
> gegen unendlich, die andere gegen 1.
> Bei letzerer, je höher n ist , desto mehr gehe ich Richtung
> 0.99999 ....
> wie nenne ich diese 2 dann?
>  

Bei so einer  die gegen unendlich geht schreibst du
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\infty [/mm] , also divergent.

Die andere dann [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=1 [/mm] ,also konvergent

Mann sagt nur konvergent wenn es einen Grenzwert gibt.

MFG Dave

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