Auf lin. Unabhängigkeit prüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Sa 12.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Es seien [mm] \vec{x_1}, \vec{x_2} [/mm] und [mm] \vec{x_3} [/mm] drei vom Nullvektor verschiedene Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] mit [mm] <\vec{x_i},\vec{x_j}>=0 [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j. Zeigen Sie, dass diese drei Vektoren dann linear unabhängig sind! |
Nun denn, ich möchte dies mit einem Gegenbeweis starten, das heißt, ich geh davon aus, dass sie linear abhängig sind:
[mm] \vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3} [/mm] sind linear abhängig.
Das würde ja heißen, ich muss prüfen, ob
[mm] a\vec{x_1}+b\vec{x_2}+c\vec{x_3}=0
[/mm]
Ja und nun? ich könnte auf eine Variable umstellen, z.B. [mm] \vec{x_3}=-a\vec{x_1}-b\vec{x_2}...aber [/mm] inwieweit mich das weiter bringt...wäre sehr dankbar über Vorschläge
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:39 Sa 12.11.2011 | | Autor: | luis52 |
> Es seien [mm]\vec{x_1}, \vec{x_2}[/mm] und [mm]\vec{x_3}[/mm] drei vom
> Nullvektor verschiedene Vektoren des [mm]\IR^3[/mm] mit
> [mm]<\vec{x_i},\vec{x_j}>=0[/mm] für i [mm]\not=[/mm] j. Zeigen Sie, dass
> diese drei Vektoren dann linear unabhängig sind!
> Nun denn, ich möchte dies mit einem Gegenbeweis starten,
> das heißt, ich geh davon aus, dass sie linear abhängig
> sind:
>
> [mm]\vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3}[/mm] sind linear abhängig.
>
> Das würde ja heißen, ich muss prüfen, ob
>
> [mm]a\vec{x_1}+b\vec{x_2}+c\vec{x_3}=0[/mm]
Moin, das musst du nicht *pruefen*, sondern ausgehend von dieser
Gleichung folgern, dass $a=b=c=0_$ gilt.
Berechne mal
[mm] <\vec{x_i},a\vec{x_1}+b\vec{x_2}+c\vec{x_3}> [/mm] ...
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 12.11.2011 | | Autor: | durden88 |
Na klar:
[mm] \vec{x_i}*a*\vec{x_1}+\vec{x_i}*b*\vec{x_2}+\vec{x_i}*c*\vec{x_3}=0
[/mm]
[mm] \vec{x_i}(a*\vec{x_1}+b*\vec{x_2}+c*\vec{x_3})=0
[/mm]
So folglich müssen a=b=c=0 sein?
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Hallo durden88,
> Na klar:
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> [mm]\vec{x_i}*a*\vec{x_1}+\vec{x_i}*b*\vec{x_2}+\vec{x_i}*c*\vec{x_3}=0[/mm]
>
>
> [mm]\vec{x_i}(a*\vec{x_1}+b*\vec{x_2}+c*\vec{x_3})=0[/mm]
>
> So folglich müssen a=b=c=0 sein?
Ja.
Gruss
MathePower
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