Auffinden einer Ortslinie < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mi 08.08.2007 | | Autor: | moody |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_k [/mm] mit [mm] f_k(x) [/mm] = x³ + 3 *x² + (1-k) *3 *x,
k [mm] \in \IR.
[/mm]
a) Bestimme die Extrempunkte aller Funktionen f.
b) Bestimme eine Ortslinie für alle Extrempunkte E(x|y) der Funktionsschar [mm] f_k.
[/mm]
Löse dazu die Gleichung [mm] f_k'(x_e)=0 [/mm] nach k auf und substituiere in der Gleichung y = [mm] f_k(x_e) [/mm] = [mm] x_e³ [/mm] + 3 * [mm] x_e² [/mm] + (1-k) * 3 * [mm] x_e [/mm] den Parameter k durch den für k aus der Gleichung [mm] f_k'(x_e) [/mm] = 0 bestimmten Wert. Begründe dieses Vorgehen. |
a) f_(x) = x³ + 3 *x² + (1-k) *3 *x
[mm] f_k'(x) [/mm] = 3x² + 6x + (1-k)3
[mm] f_k"(x) [/mm] = 6x + 6
3x² + 6x + (1-k)3 = 0
[...]
<=> (x+1)² = k | [mm] \wurzel[]{}
[/mm]
<=> |x+1| = k
also: x = [mm] \wurzel[]{k-1} [/mm] oder x = - [mm] \wurzel[]{k-1}
[/mm]
So nun komme ich nicht weiter. Ich weiß nicht wie ich das mit der Fallunterscheidung mache.
b) Warum stehen die "e"s da? Es ist doch keine Ableitung.
Ich habe diese Frage auf keinen anderen Seiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Do 09.08.2007 | | Autor: | moody |
Danke für deine Mühen!
Einfacher mit p-q-Formel - Geschmackssache.
So habe a) nun ausgerechnet. Ich komme auf folgendes:
Extrema können nur bei [mm] \wurzel[]{k} [/mm] und - [mm] \wurzel[]{k} [/mm] liegen für K > 0
Kannst du das so bestätigen?
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Und zu Aufgabe b) habe ich keine Ahnung was ich als Begründung schreiben soll.
Vorschläge?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:04 Do 09.08.2007 | | Autor: | moody |
Zusätzlich kann ich für a) keine Y Werte bestimmen, bei der Rechnung happerts.
Ich habe den Ansatz meine x1 und x2 in f(x) einzusetzen.
Und komme auf y = [mm] K*\wurzel[]{k} [/mm] -5k -2
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Hallo,
ne Teilantwort zu (a):
> Einfacher mit p-q-Formel - Geschmackssache.
stimmt 
> So habe a) nun ausgerechnet. Ich komme auf folgendes:
>
> Extrema können nur bei [mm]\wurzel[]{k}[/mm] und - [mm]\wurzel[]{k}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> liegen für K > 0
>
> Kannst du das so bestätigen?
nein, siehe oben, die möglichen Stellen, an denen Extrema vorliegen sind
(für [mm] k\ge [/mm] 0) [mm] x_1=-1+\sqrt{k} [/mm] und [mm] x_2=-1-\sqrt{k}
[/mm]
Du hast Recht, dass es nur für k>0 Extrema sind, denn für k=0 ist [mm] f_0''(x_1)=f_0''(x_2)=0.
[/mm]
Welcher Art die Extrema für k>0 sind, siehst du, wenn du [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] mal in die 2.Ableitung einsetzt:
Es gibt für k>0 jeweils ein Minimum und ein Maximum
Das Minimum für [mm] x=-1+\sqrt{k}, [/mm] das Maximum für [mm] x=-1-\sqrt{k}
[/mm]
Die y-Koordinaten der Extrema kannste ausrechnen durch Einsetzen von [mm] x_1,x_2 [/mm] in [mm] f_k
[/mm]
Ich hab's nur mal für die Minima gemacht; Tiefpunkte sind [mm] T=\left(-1+\sqrt{k}/-1+3k-2k\sqrt{k}\right)
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:15 Do 09.08.2007 | | Autor: | moody |
> nein, siehe oben, die möglichen Stellen, an denen Extrema
> vorliegen sind
Sorry vergessen, quasi Tippfehler
> Die y-Koordinaten der Extrema kannste ausrechnen durch
> Einsetzen von [mm]x_1,x_2[/mm] in [mm]f_k[/mm]
Sagte ich ja auch das das mein Ansatz ist.
> Ich hab's nur mal für die Minima gemacht; Tiefpunkte sind
> [mm]T=\left(-1+\sqrt{k}/-1+3k-2k\sqrt{k}\right)[/mm]
Hättest du da vll. den Rechenweg. Ich scheine mich nach richtigem Ansatz ja verrechnet zu haben.
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Hi nochmal,
dass für [mm] x=-1+\sqrt{k} [/mm] ein Minimum vorliegt, hast du erkannt?
Zur Erinnerung: es war [mm] f_k''(x)=6x+6=6(x+1)
[/mm]
also:
[mm] f_k''(-1+\sqrt{k})=6(-1+\sqrt{k}+1)=6\sqrt{k}>0 \Rightarrow [/mm] TP
Nun die y-Koordinate dazu:
[mm] f_k(-1+\sqrt{k})=(-1+\sqrt{k})^3+3(-1+\sqrt{k})^2+(1-k)\cdot{}3(-1+\sqrt{k})
[/mm]
[mm] =-1+3\sqrt{k}-3k+k\sqrt{k}+3(1-2\sqrt{k}+k)+(1-k)(-3+3\sqrt{k})
[/mm]
=.... den Rest schön ausmultiplizieren und zusammenfassen [mm] ...=-1+3k-2k\sqrt{k}
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:33 Do 09.08.2007 | | Autor: | moody |
> dass für [mm]x=-1+\sqrt{k}[/mm] ein Minimum vorliegt, hast du
> erkannt?
eh ja, wieso sollte ich das nicht erkannt haben.
Der Ansatz für y ist mir vollkommen klar.
Ich habe mich dabei verrechnet:
> =.... den Rest schön ausmultiplizieren und zusammenfassen
Daher würde ich gerne sehen wie du das ausmultiplizierst und zusammen fasst.
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Hi,
nene so geht das hier nicht...
Ich hab doch schon nen Großteil gemacht.
die beiden hinteren Klammern wirst du wohl ausmultiplizieren können...
Dann alle Terme mit k zusammenfassen, alle mit [mm] k\sqrt{k} [/mm] usw.
Versuch's mal oder poste [mm] \underline{deinen} [/mm] Rechenweg, dann suchen wir dort nach dem Fehler
Aber alles vorrechnen - ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") nö
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:58 Do 09.08.2007 | | Autor: | moody |
[mm] f(\wurzel[]{k}-1) [/mm] = [mm] (\wurzel[]{k} [/mm] - 1)³ + [mm] 3*(\wurzel[]{k} [/mm] -1 )² + (1-k)3
= [mm] (\wurzel[]{k} [/mm] -1)³ + 3* (k - [mm] 2\wurzel[]{k} [/mm] + 1) + [mm] 1k+3*\wurzel[]{k} [/mm] -3
[mm] =(\wurzel[]{k} [/mm] - 1)³ + [mm] \wurzel[]{k} [/mm] -1 -2k
[mm] =(\wurzel[]{k}-1)²(\wurzel[]{k}-1) +\wurzel[]{k} [/mm] -1 -2k
=(k - [mm] 2\wurzel[]{k} +1)(\wurzel[]{k}-1) [/mm] + [mm] \wurzel[]{k} [/mm] -1 -2k
=k [mm] \wurzel[]{k} [/mm] +3k [mm] -\wurzel[]{k} [/mm] -1 [mm] +\wurzel[]{k} [/mm] -1 -2k
[mm] =k\wurzel[]{k} [/mm] -5k -2
So hier mein Weg. Hoffe mal mein Fehler ist nich allzu grob.
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Hallo moody,
> [mm]f(\wurzel[]{k}-1)[/mm] = [mm](\wurzel[]{k}[/mm] - 1)³ + [mm]3*(\wurzel[]{k}[/mm]
> -1 )² + [mm] (1-k)3\red{\cdot{}(\sqrt{k}-1)}
[/mm]
Die Ausgangsfunktion war ja [mm] f_k(x)=x^3+3x^2+3(1-k)\red{\cdot{}x}
[/mm]
Das müsste an dem vergessen [mm] \cdot{}(\sqrt{k}-1) [/mm] liegen
Gruß
schachuzipus
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
