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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:22 Di 16.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich brauch mal wieder Hilfe bei ner Aufgabe:
Ich soll folgendes durch vollst. Induktion beweisen:
(Also Prinzip der vollst. Induktion hab ich verstanden)
[mm] \vektor{k \\ k}+ \vektor{k+1 \\ k}+...+ \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}
[/mm]
Ich kann doch auch schreiben:
[mm] \summe_{k=k}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1}, [/mm] oder??
Induktionsanfang:
k=n (Diesen Tipp haben wir bekommen)
Linke Seite: [mm] \vektor{n \\ n} [/mm] =1
Rechte Seite: [mm] \vektor{n+1 \\ n+1}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow: [/mm] l.S. = r.S.
Behauptung für k=n richtig.
Induktionshypothese:
Es gelte für (n-k) die Formel:
[mm] \summe_{k=k}^{n-k} \vektor{n-k \\ k}= \vektor{n+1-k \\ k+1}
[/mm]
Induktionsschluss:
(n-k) [mm] \to [/mm] (n+1-k) (Diesen Tipp haben wir auch bekommen).
(Behauptung: [mm] \summe_{k=k}^{n+1-k} \vektor{n+1-k \\ k}= \vektor{n+2-k \\ k+1} [/mm] )
Also:
[mm] \summe_{k=k}^{n+1-k} \vektor{n+1-k \\ k} [/mm] = [mm] \summe_{k=k}^{n-k} \vektor{n+1-k \\ k}+...... [/mm] Hier bin ich dann nicht mehr weitergekommen.
Stimmt meine Lösung überhaupt bis hier her, und falls ja, wie geht es weiter. Falls nein, wäre es nett, wenn mir jemand die richtige Lösung sagen könnte 
Gruß
Annette
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HI!
Denke du musst das -k auf der rechten Seite wegnehmen, und nur überall beim n ein n+1 schreiben. du hattest wenn ich mich richtig erinnere n+2-k geschrieben. n+2 müsste richtig sein, aber das -k muss weg.
KOmmst du dann weiter?
Habe ansonsten keinen Fehler gefunden
> (Behauptung: [mm]\summe_{k=k}^{n+1-k} \vektor{n+1-k \\ k}= \vektor{n+2 [red] -k [/red] \\ k+1}[/mm]
> )
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:31 Di 16.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ich versteh nicht, warum ich das -k weglassen soll?
Gruß
Annette
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ICh habe gelernt, dass bei der Vollständigen INduktion für jedes n ein n+1 gesetz werden muss, weil man ja gerade das beweisen will.
Da du in der Ausgangsgleichung wenn mich nicht alles täuscht kein k hast (rechte Seite), müsstest du ja auch bei n+1 dsa kein k haben.
Werde mich damit aber gleich nochmal befassen, und wenn ich noch weiterkomme, mich melden.
Okay, ich gebe auf, hatte einen falschen Ansatz, und komme somit auch nihct weiter( zumindest nicht jetzt). Wenn mir was einfällt, dann melde ich mich, versprochen).
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Hi!
mmh, ich glaub [mm] \summe_{k=k}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm] darf man nicht nehmen
besser:
[mm] \summe_{i=k}^{n} \vektor{i\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n+1 \\ k+1} [/mm]
dann:
IV: [mm] \summe_{i=k}^{n-k} \vektor{i\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-k+1 \\ k+1} [/mm] für bel. aber festes (n-k) [mm] \in \IN
[/mm]
IBeh: [mm] \summe_{i=k}^{n-k+1} \vektor{i\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-k+2 \\ k+1} [/mm]
IBeweis:
[mm] \summe_{i=k}^{n-k+1} \vektor{i\\ k} [/mm] = [mm] \summe_{i=k}^{n-k} \vektor{i\\ k} [/mm] + [mm] \vektor{n-k+1\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-k+1\\ k+1} +\vektor{n-k+1\\ k} [/mm] = [mm] \vektor{n-k+2\\ k+1}
[/mm]
mfg Verena
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Di 16.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Verena,
dein Beweis ist richtig!
Du zeigst die Behauptung etwas allgemeiner. Nach meiner Interpretation der Aufgabenstellung hätte es hier genügt, den Induktionsanfang mit $(n-k)=k [mm] \in \IN_{\;0}=\IN \cup \{0\}$ [/mm] zu machen (bei mir gilt: [mm] $\IN=\{1,2,3,4,5,...\}$, [/mm] bei dir aber wahrscheinlich [mm] $\IN=\{0,1,2,3,4,5,...\}$) [/mm] und dann zu zeigen, dass dann die Behauptung für alle $n [mm] \in \IN_{\;0}$ [/mm] mit [mm] $(n-k)\ge [/mm] k$, $(n-k) [mm] \in \IN_{\;0}$ [/mm] gilt. Ich finde es persönlich etwas mühselig und verwirrend, immer das $(n-k)$ im Summenzeichen mit rumzuschleppen:
Ich hätte das ganze so notiert:
Sei $k [mm] \in \IN_{\;0}$ [/mm] beliebig, aber fest.
Induktionsanfang: $n=0$ klar!
Es gelte:
[m]\summe_{i=k}^{n} \vektor{i\\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}[/m] für ein $n [mm] \in \IN_{\;0}$
[/mm]
(Annette kann den Induktionsanfang auch mit $n=k [mm] \in \IN_{\;0}$ [/mm] machen, und dann sagen:
Es gelte [m]\summe_{i=k}^{n} \vektor{i\\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}[/m] für ein [m]n \in \IN_{\;0}[/m] mit $n [mm] \ge [/mm] k$.)
$n [mm] \mapsto [/mm] (n+1)$:
[m]\summe_{i=k}^{n+1} \vektor{i\\ k}=\summe_{i=k}^{n} \vektor{i\\ k}+\vektor{n+1\\ k}=\vektor{n+1 \\ k+1}+\vektor{n+1\\ k}=\vektor{n+2\\ k+1}[/m]
Es macht zwar keinen Unterschied, aber ich finde das so formal irgendwie schöner...
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:08 Mi 17.11.2004 | | Autor: | Nette |
Hi ihr!
Ok, ich seh ja ein, dass meine Lösung nicht so ganz korrekt war 
Danke euch vielmals.
Gruß
Annette
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