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Forum "VK 29: Oberstufenmathematik" - Aufgabe 3
Aufgabe 3 < VK 29: Oberstufe < VK Abivorbereitungen < Schule < Vorkurse < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Di 13.05.2008
Autor: Tyskie84

Aufgabe
Bestimme die 1. und 2. Ableitung der Funktion f.

a) [mm] f(x)=(3x+5)^{2} [/mm]
b) [mm] f(x)=(2x-5)^{3} [/mm]
c) [mm] f(x)=(\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{4} [/mm]
d) [mm] f(x)=\wurzel{2x+5} [/mm]
e) [mm] f(x)=\bruch{1}{e^{x}-5} [/mm]
f) [mm] f(x)=\wurzel{x²-x} [/mm]
g) [mm] f(x)=3\cdot(2x-4)^{5} [/mm]
h) [mm] f(x)=(\bruch{1}{4}x-9)^{\bruch{7}{3}} [/mm]
i) [mm] f(x)=e^{2x+3} [/mm]
j) [mm] f(x)=2\cdot\\sin(x²) [/mm]
k) [mm] (5\cdot\\e^{3x²-1})^{3} [/mm]

Quelle: Elemente der Mathemtaik

        
Bezug
Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:14 Mo 19.05.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Tyskie und argl!

Hier sind meine Lösungsvorschläge:

a)  f'(x) = 6(3x+5)             f''(x) = 18

b) f'(x) = [mm] 6(2x-5)^2 [/mm]            f''(x) = 24(2x-5)

c) f'(x) =[mm] ( \bruch{8}{3}x-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)^3[/mm]  

nach der Produktregel:

    f''(x) =[mm] ( \bruch{8}{3}-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)^3+(2x-3e^x)*(\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2*(\bruch{8}{3}x-4e^x)[/mm]

  [mm] = (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[( \bruch{8}{3}-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)+(2x-3e^x)*(\bruch{8}{3}x-4e^x)][/mm]

Ich habe wie gesagt einige Lücken unter anderem beim Zusammenfassen!Wie könnte man das weiter vereinfachen?

d)

f'(x) = [mm] = \bruch{2}{ 2*\wurzel{2x+5}}[/mm]

f''(x) = [mm] = -\bruch{1}{ (2x+5)^{1,5}}[/mm]


e)

f'(x) = [mm] = \bruch{-1e^x}{ (e^x-5)^2}[/mm]

Mit Produktregel:

f''(x) = [mm] -\bruch{e^x}{ (e^x-5)^2}+\bruch{2e^{2x}}{ (e^x-5)^3[/mm]    =   [mm] -\bruch{e^{2x}+5e^x}{ (e^x-5)^3}[/mm]

f)

f'(x) =  [mm] \bruch{2x-1}{2*\wurzel{x^2-x}}[/mm]    

Nach der Produktregel:

f''(x) =   [mm] \bruch{0,25x-0,25}{(x^2-x)^{1,5}}[/mm]


g)

f'(x)= [mm] 30*(2x-4)^4 [/mm]

f''(x) = [mm] 240*(2x-4)^3 [/mm]

h)

f'(x) = [mm] \bruch{7}{12}*(\bruch{1}{4}-9)^{\bruch{4}{3}}[/mm]

f''(x) =  [mm] \bruch{7}{36}*(\bruch{1}{4}-9)^{\bruch{1}{3}}[/mm]

i)

f'(x) = [mm] 2e^{2x+3} [/mm]                                f''(x)= [mm] 4e^{2x+3} [/mm]

j)   Bei Sinusfunktionen habe ich besonders viele Defizite! Ich hoffe es stimmt:

f'(x)= [mm] 2(cosx^2*2x) [/mm]

f''(x)= [mm] 2[(-sinx^2*2x)*2x+2(cosx^2)] [/mm]  /Produktregel

k) Auch das ist eine sehr knifflige Rechnung! Super!


f'(x) =   [mm] 3*(5*6xe^{3x^2-1})(5*e^{3x^2-1})^2 [/mm] = [mm] 90xe^{3x^2-1}*(5*e^^{3x^2-1})^2 [/mm]


f''(x) =  [mm] (90xe^{3x^2-1})*(60xe^{3x^2-1})+(5e^{3x^2-1})^2*(540x^2e^{3x^2-1}) [/mm]

Hier bin ich mir sehr unsicher, deswegen fasse ich einmal nicht zusammen!

Das wären meine vorläufigen Ergebnisse! Jetzt bin ich ganz schön lang beschäftigt gewesen und trotzdem wird einiges falsch sein.

Vielen Dank für eure Hilfe


Angelika








Bezug
                
Bezug
Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:16 Mo 19.05.2008
Autor: Tyskie84

Hi Angelika,

> Hallo Tyskie und argl!
>  
> Hier sind meine Lösungsvorschläge:
>  
> a)  f'(x) = 6(3x+5)             f''(x) = 18
>  

[ok]

> b) f'(x) = [mm]6(2x-5)^2[/mm]            f''(x) = 24(2x-5)
>  

[ok]

> c) f'(x) =[mm] ( \bruch{8}{3}x-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)^3[/mm]  
>
> nach der Produktregel:
>  
> f''(x) =[mm] ( \bruch{8}{3}-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)^3+(2x-3e^x)*(\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2*(\bruch{8}{3}x-4e^x)[/mm]
>  
> [mm]= (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[( \bruch{8}{3}-4e^x)*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)+(2x-3e^x)*(\bruch{8}{3}x-4e^x)][/mm]
>  
> Ich habe wie gesagt einige Lücken unter anderem beim
> Zusammenfassen!Wie könnte man das weiter vereinfachen?
>  

Das habe ich jetzt nicht durchgeschaut. Zunächst einmal so wie du es sagtest musst du zusammenfassen. Also multipliziere erst einmal alles aus denn vielleicht kürzt sich etwas weg. Aber irgendetwas erscheint mir bei der 1. Ableitung schon etwas seltsam. Ich bekomme nämlich: [mm] f'(x)=(\bruch{2}{3}x-e^{x})\cdot\\4\cdot(\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{3} [/mm] heraus. Kontrolliere bitte nocheinmal deine Rechung.

> d)
>
> f'(x) = [mm]= \bruch{2}{ 2*\wurzel{2x+5}}[/mm]
>  

!!!!!KÜRZEN :-)

> f''(x) = [mm]= -\bruch{1}{ (2x+5)^{1,5}}[/mm]
>  
>

[ok]

> e)
>  
> f'(x) = [mm]= \bruch{-1e^x}{ (e^x-5)^2}[/mm]
>

[ok]

> Mit Produktregel:
>  
> f''(x) = [mm]-\bruch{e^x}{ (e^x-5)^2}+\bruch{2e^{2x}}{ (e^x-5)^3[/mm]
>    =   [mm]-\bruch{e^{2x}+5e^x}{ (e^x-5)^3}[/mm]
>

[ok] aber klammer noch im Zähler [mm] \\e^{x} [/mm] aus :-)

> f)
>
> f'(x) =  [mm]\bruch{2x-1}{2*\wurzel{x^2-x}}[/mm]    
>

[ok]

> Nach der Produktregel:
>  
> f''(x) =   [mm]\bruch{0,25x-0,25}{(x^2-x)^{1,5}}[/mm]
>
>

[ok]

> g)
>
> f'(x)= [mm]30*(2x-4)^4[/mm]
>  

[ok]

> f''(x) = [mm]240*(2x-4)^3[/mm]
>  

[ok]

> h)
>
> f'(x) = [mm]\bruch{7}{12}*(\bruch{1}{4}-9)^{\bruch{4}{3}}[/mm]
>
> f''(x) =  [mm]\bruch{7}{36}*(\bruch{1}{4}-9)^{\bruch{1}{3}}[/mm]
>

Erste und 2. Ableitung ist in Ordnung aber schau noch mal ob du da nicht etwas vergessen hast ;-)

> i)
>
> f'(x) = [mm]2e^{2x+3}[/mm]                                f''(x)=
> [mm]4e^{2x+3}[/mm]
>  

beide ableitungen [ok]

> j)   Bei Sinusfunktionen habe ich besonders viele Defizite!
> Ich hoffe es stimmt:
>  
> f'(x)= [mm]2(cosx^2*2x)[/mm]
>  

in Ordnung [ok] aber noch ausmultiplizieren.

> f''(x)= [mm]2[(-sinx^2*2x)*2x+2(cosx^2)][/mm]  /Produktregel
>  

Auch hier ausmultiplizieren. Du musst auf [mm] f''(x)=\\4cos(x²)-8x²sin(x²) [/mm] kommen bzw [mm] 4\cdot(cos(x²)-2x²sin(x²)) [/mm]

> k) Auch das ist eine sehr knifflige Rechnung! Super!
>  
>
> f'(x) =   [mm]3*(5*6xe^{3x^2-1})(5*e^{3x^2-1})^2[/mm] =
> [mm]90xe^{3x^2-1}*(5*e^^{3x^2-1})^2[/mm]
>  

Ich fürchte leider [notok]. Mache dir zunächst Gedanken wie du dein f(x) vereinfachen kannst bevor du ans ableiten gehst. Die erste Ableitung gebe ich dir versuche darauf zu kommen. [mm] f'(x)=2250\cdot\\e^{9x^{2}-3}x [/mm]

>
> f''(x) =  
> [mm](90xe^{3x^2-1})*(60xe^{3x^2-1})+(5e^{3x^2-1})^2*(540x^2e^{3x^2-1})[/mm]
>  

Ich fürchte leider auch [notok]

> Hier bin ich mir sehr unsicher, deswegen fasse ich einmal
> nicht zusammen!
>  
> Das wären meine vorläufigen Ergebnisse! Jetzt bin ich ganz
> schön lang beschäftigt gewesen und trotzdem wird einiges
> falsch sein.
>  
> Vielen Dank für eure Hilfe
>  
>
> Angelika
>  
>
>
>
>
>
>  

[super] Alles in allem eine sehr gute Arbeit. [applaus]

[hut] Gruß

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Bezug
Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Di 20.05.2008
Autor: AbraxasRishi

Hallo Tyskie!

Danke für dein Kompliment und die schnelle Korrektur!

Bei c) stellt sich mir eine Grundlagenfrage. Vielleicht ist es ein Fehler den ich schon lange mache, ohne zu wissen, dass es ein Fehler ist!

Jedenfalls bin ich auch auf:

[mm] f'(x)=(\bruch{2}{3}x-e^{x})\cdot\\4\cdot(\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{3} [/mm]

gekommen nur habe ich

[mm] f'(x)=(\bruch{2}{3}x-e^{x})[/mm]

mit 4 ausmultipliziert.  Scheinbar ist das ein Fehler!

Wenn jedoch die Ableitung von: f(x) = [mm] (2x-3)^2 [/mm] bidet, geht man ja auch so vor, oder? f'(x) = 4*(2x-3)

So wie du sagt wäre die 2. Ableitung:

[mm]= (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[( \bruch{2}{3}-e^x)\cdot{}4*( \bruch{1}{3}x^2-e^x)+(\bruch{2}{3}-e^x)*12][/mm]


oder?

Könnte man das dann so ausmultiplizieren:
[mm]f''(x)= (\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[-\bruch{44}{3}e^2+\bruch{8}{9}x^2-\bruch{4}{3}e^xx^2+e^{2x}+\bruch{12}{3}x][/mm]

=[mm](\bruch{1}{3}x^2-e^x)^2[\bruch{-132e^x+8x^2-12e^xx^2+9e^{2x}+36x}{9}][/mm]

Soll ich nochmal ausmultiplizieren?


d)

f'(x)=[mm]\bruch{1}{\wurzel{2x+5}}[/mm]




e)

f''(x) =[mm]-\bruch{e^x(e^x+5}{ (e^x-5)^3} [/mm]


Bei h) ist mir nicht aufgefallen was du meinst?...

j) f'(x) = [mm] 4xcosx^2 [/mm]

f''(x) = [mm] 2(-4x^2sinx^2+2cosx^2) [/mm]  So komme ich zu deinem Ergebniss!

Was die letze Übung betrifft, glaube ich hab erkannt wie du zur 1. Ableitung gekommen bist:

f(x) =[mm]125*e^{9x^2-3} [/mm]

f'(x) =[mm]18x*125*e^{9x^2-3} *e^{9x^2-3} [/mm]

Demnach wäre(Produktregel?) :[mm] f''(x) = 40500*e^{9x^2-3}x^2+2250*e^{9x^2-3} [/mm]

Vielen Dank für die Hilfe!

Grüße

Angelika


Bezug
                                
Bezug
Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:41 Di 20.05.2008
Autor: Tyskie84

Hi Angelika,

Eins vorweg :-) [mm] 4\cdot(x+2)^{2}\not=(4x+8)^{2} [/mm] also man darf die 4 keinesfalls in die Klammer ziehen denn die 4 wird nicht quadriert. Also erst Klammer auflösen und dann die 4 einmultiplizieren. Oder es gibt da noch einen anderen Weg den ich dir jetzt zeigen möchte.

Wir haben [mm] 4\cdot(x+2)^{2} [/mm] wie ich ja gerade erwähnt habe können wir die 4 nicht in die Klammer einmultiplizieren weil sie nicht quadriert wird aber das können wir ändern. Dazu schreiben 4 zu [mm] 2^{2} [/mm] um. Dann haben wir [mm] \\2^{2}\cdot(x+2)=(2x+4)^{2} [/mm] :-).


Die c) rechne ich dir mal vor so wie ich sie haben wollen würde:

Es ist:

[mm] (\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{4} [/mm]

Da es sich um eine verkette Funktion handelt müssen wir die MBKettenregel verwenden.

[mm] \\u(x)=x^{4} [/mm]
[mm] \\u'(x)=4x^{3} [/mm]
[mm] \\v(x)=\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x} [/mm]
[mm] \\v'(x)=\bruch{2}{3}x-e^{x} [/mm]

[mm] \Rightarrow f'(x)=(\bruch{2}{3}x-e^{x})\cdot\\4\cdot(\bruch{1}{3}x^{2}-e^{x})^{3}. [/mm] Das kann men jetzt noch ausmultiplizieren aber man gewinnt dadurch nicht all zu viel. Aber ich verwende jetzt einen Trick den ich dir oben erklärt habe du musst ihn aber umgekehrt anwenden :-). Ich ziehe [mm] \bruch{1}{3} [/mm] aus der ersten Klammer aus um den Bruch in der Klammer wegzubekommen und aus der zweiten Klammer muss ich auch [mm] \red{\bruch{1}{3}} [/mm] aus der Klammer rausziehen, doch [aufgemerkt] die Klammer ist ja [mm] ()^{3} [/mm] also muss ich [mm] \blue{(\bruch{1}{3})^{3}} [/mm] aus der Klammer ziehen. Dann habe ich [mm] 4\cdot\red{\bruch{1}{3}}\cdot\blue{\bruch{1}{27}}\cdot(2x-3e^{x})\cdot(x^{2}-3e^{x})^{3}=\bruch{4}{81}\cdot(2x-3e^{x})\cdot(x^2-3e^{x})^{3} [/mm]

Nun die zweite Ableitung:

[mm] \\u(x)=(2x-3e^{x}) [/mm]
[mm] \\u'(x)=2-3e^{x} [/mm]
[mm] \\v(x)=(x^{2}-3e^{x})^{3} [/mm]
[mm] \\v'(x)=(2x-3e^{x})\cdot\\3\cdot(x^{2}-3e^{x})^{2} [/mm]

[mm] \Rightarrow f''(x)=\bruch{4}{81}\cdot[(2-3e^{x})\cdot(x^{2}-3e^{x})^{3}+(2x-3e^{x})\cdot\\3\cdot(x^{2}-3e^{x})^{2}] [/mm] Das würde mir eigentlich reichen. Man könnte das jetzt noch ausmultiplizieren und schauen ob da was wegfällt. Habs gemacht und nicht fällt weg also lasse es so stehen wie es ist :-)


  


> Hallo Tyskie!
>
> d)
>
> f'(x)=[mm]\bruch{1}{\wurzel{2x+5}}[/mm]
>  
>

[ok]

>
>
> e)
>  
> f''(x) =[mm]-\bruch{e^x(e^x+5}{ (e^x-5)^3}[/mm]
>  
>

[ok]

> Bei h) ist mir nicht aufgefallen was du meinst?...
>  

schau dir mal die Zahlen in der Klammer auf, fehlt da keinx ;-) ?

> j) f'(x) = [mm]4xcosx^2[/mm]
>  

[ok]

> f''(x) = [mm]2(-4x^2sinx^2+2cosx^2)[/mm]  So komme ich zu deinem
> Ergebniss!
>  

[ok] aber warum hast du nur die 2 ausgeklammert. Klammer die 4 aus. Immer das höchst mögliche :-). Aber es ist kein Fehler deshalb [ok].

> Was die letze Übung betrifft, glaube ich hab erkannt wie du
> zur 1. Ableitung gekommen bist:
>  
> f(x) =[mm]125*e^{9x^2-3}[/mm]
>  

genau so meinte ich das :-).

> f'(x) =[mm]18x*125*e^{9x^2-3} *e^{9x^2-3}[/mm]
>  

Ich glaub da hast du dich etwas verschrieben. Es ist [mm] f'(x)=\\18x\cdot\\125e^{9x^{2}-3}. [/mm] Bei dir ist ein [mm] e^{9x^{2}-3} [/mm] zuviel :-)

> Demnach wäre(Produktregel?) :[mm] f''(x) = 40500*e^{9x^2-3}x^2+2250*e^{9x^2-3}[/mm]
>  

[ok] aber man kann ausklammern zumindest das [mm] e^{9x^{x}-3} [/mm]

> Vielen Dank für die Hilfe!
>  
> Grüße
>  
> Angelika
>  

[super]

[hut] Gruß

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Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:21 Di 20.05.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke Tyskie!

Du hast mir das wirklich sehr gut erklärt!(von diesem Trick hatte ich keine Ahnung!)

Bei der letzten Aufgabe steht dann:

f''(x) = [mm] e^{9x^2-3}(40500x^2+2250) [/mm]

Bei f'(x) = [mm] 18x*125*e^{9x^2-3} [/mm]  habe ich mich verschrieben!

Bei h) müsste es heißen: f'(x) = [mm] \bruch{7}{12}*(\bruch{1}{4} x-9)^{ \bruch{4}{3}[/mm]

f''(x) = [mm] \bruch{7}{36}*(\bruch{1}{4} x-9)^{ \bruch{1}{3}[/mm]

Kann so eine Aufgabe eigentlich als beatwortet angesehen werden, oder müsste ich alle Lösungen nochmal schön auflisten?

Grüße

Angelika





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Bezug
Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:26 Di 20.05.2008
Autor: Tyskie84

Hi Angelika,

> Danke Tyskie!
>  
> Du hast mir das wirklich sehr gut erklärt!(von diesem Trick
> hatte ich keine Ahnung!)
>  
> Bei der letzten Aufgabe steht dann:
>  
> f''(x) = [mm]e^{9x^2-3}(40500x^2+2250)[/mm]
>  

[ok]

> Bei f'(x) = [mm]18x*125*e^{9x^2-3}[/mm]  habe ich mich
> verschrieben!
>  

genau das dachte ich mir auch da deine 2 Ableitung koplett richtig war :-)

> Bei h) müsste es heißen: f'(x) =
> [mm]\bruch{7}{12}*(\bruch{1}{4} x-9)^{ \bruch{4}{3}[/mm]
>

[ok]

> f''(x) = [mm]\bruch{7}{36}*(\bruch{1}{4} x-9)^{ \bruch{1}{3}[/mm]
>

[ok]

> Kann so eine Aufgabe eigentlich als beatwortet angesehen
> werden, oder müsste ich alle Lösungen nochmal schön
> auflisten?
>  

Nein das musst du nicht. Ich weiss ja wie deine Lösungen waren ;-).

> Grüße
>
> Angelika
>  
>
>
>  

[hut] Gruß

Bezug
        
Bezug
Aufgabe 3: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Sa 24.05.2008
Autor: Mandy_90

Hallo,
hier meine Lösungen.

a)f'(x)=18x+30
   f''(x)=18
[mm] b)f'(x)=6*(2x-5)^{2} [/mm]
   f''(x)=48x-120
d) [mm] f'(x)=(2x+5)^{-0.5} [/mm]
    [mm] f''(x)=-(2x+5)^{-1.5} [/mm]
f) [mm] f'(x)=(x-0.5)*(x^{2.5}-x)^{-0.5} [/mm]
   [mm] f''(x)=x^{2}-x-\bruch{1}{2}*(x^{2.5}-x)^{-1.5}*x-0.5 [/mm]
[mm] g)f'(x)=30*(2x-4)^{4} [/mm]
   f''(x)=60
[mm] h)f'(x)=\bruch{\pi}{12}*(\bruch{1}{4}x-9)^{-\bruch{2}{3}*\pi} [/mm]
   [mm] f''(x)=-\bruch{2}{36}\pi*(\bruch{1}{4}x-9)^{-1 \bruch{2}{3}} [/mm]
j)f'(x)=0  
  f''(x)=0

lg


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Aufgabe 3: Korrektur (teilweise)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mo 26.05.2008
Autor: argl

a) $ [mm] f(x)=(3x+5)^{2} [/mm] $

zu a)
$f'(x)=18x+30$
$f''(x)=18$

[ok]

b) $ [mm] f(x)=(2x-5)^{3} [/mm] $

zu b)
[mm] $f'(x)=6*(2x-5)^2$ [/mm]
$f''(x)=48x-120$

[ok]

g) $ [mm] f(x)=3\cdot(2x-4)^{5} [/mm] $

zu g)
[mm] $f'(x)=30\cdot{}(2x-4)^{4}$ [/mm]

[ok]

$f''(x)=60$

[notok]

Du musst hier genauso verfahren, wie oben. Als Ergebnis müsstest du erhalten:

$ 240 [mm] (2x-4)^3 [/mm] $

[mm] j)$2*sin(x^2)$ [/mm]

zu j)
$f'(x)=0$  
$f''(x)=0$

[notok]

Du müsstest als erste Ableitung erhalten:

$f'(x) = [mm] 4x*cos(x^2)$ [/mm]

Versuch mal die zweite Ableitung auszurechnen.





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Bezug
Aufgabe 3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 Sa 31.05.2008
Autor: Tyskie84

Hi,

zu d) [ok]

zu h) Ich denke mal das du weisst wie das geht aber wie kommst du auf [mm] \\pi [/mm] ??? Der Exponent ist [mm] \bruch{7}{3} [/mm] ;-)

[hut] Gruß

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