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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #72 (IrMO),(Folgen)
Aufgabe #72 (IrMO),(Folgen) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #72 (IrMO),(Folgen): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 01:26 Mi 27.07.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] ist durch [mm] $a_1=1, a_{2n}=a_n$ [/mm] und [mm] $a_{2n+1}=a_{2n}+1$ [/mm] definiert. Finde den maximalen Wert unter den Gliedern [mm] $a_1,...,a_{1989}$ [/mm] und die Anzahl, wie oft er auftritt.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #72 (IrMO),(Folgen): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 Mi 27.07.2005
Autor: KaiAhnung

Hallo Hanno!

> Die Folge [mm](a_n)[/mm] ist durch [mm]a_1=1, a_{2n}=a_n[/mm] und
> [mm]a_{2n+1}=a_{2n}+1[/mm] definiert. Finde den maximalen Wert unter
> den Gliedern [mm]a_1,...,a_{1989}[/mm] und die Anzahl, wie oft er
> auftritt.

In der Menge [mm]\{a_1,a_2,...,a_{2^n-1}\}[/mm] sind genau diejenigen Folgenglieder n-1, deren Index eine Darstellung als [mm]2^n-1-2^j[/mm] mit [mm]0 \le j < n[/mm] hat. Desweiteren ist [mm]a_{2^n-1}=n[/mm]. Alle weiteren Folgenglieder sind kleiner.


Beweis:
Ind.-Anfang:

[mm]\{a_1,a_2,a_3\}=\{1,1,2\}[/mm]

Ind.-Schritt:

Für [mm]\{a_1,a_2,...,a_{2^n-1}\}[/mm] gelte die Voraussetzung.

[mm]a_{2^{n+1}-1}=a_{2\cdot{}(2^n-1)+1}=a_{2^n-1}+1=n+1[/mm]

[mm]a_{2^{n+1}-1-2^0}=a_{2^{n+1}-2}=a_{2\cdot{}(2^n-1)}=a_{2^n-1}=n[/mm]

[mm]a_{2^{n+1}-1-2^n}=a_{2^n-1}=n[/mm]

Für [mm]0 < k < 2^{n-1}[/mm] ist
[mm]a_{2^{n+1}-2-2k}=a_{2\cdot{}(2^{n}-1-k)}=a_{2^{n}-1-k} \le (n-1)[/mm].
und
[mm]a_{2^{n+1}-2-2k+1}=a_{2\cdot{}(2^{n}-1-k)+1}=a_{2^{n}-1-k}+1[/mm]
Ist k keine 2er-Potenz, so ist der Term kleiner oder gleich n-1.
Für 2er Potenzen ergibt sich [mm]a_{2^{n+1}-1-2^{j+1}}=a_{2\cdot{}(2^{n}-1-2^j)+1}=a_{2^{n}-1-2^j}+1=n[/mm]
([mm]1\le j+1 < n+1[/mm])

Damit sind alle Folgenglieder in [mm]\{a_1,a_2,...,a_{2^{n+1}-1}\}[/mm] abgedeckt. Die Bedingung gilt somit auch für n+1.

Der maximale Wert in [mm]\{a_1,a_2,...,a_{2^{11}-2}\}[/mm] ist folglich 10.
Für alle j mit [mm]6 \le j \le 10[/mm] liegt [mm]a_{2^{11}-1-2^j}[/mm] in dem fraglichen Bereich. Daher kommt die 10 genau [mm]10-6+1=7[/mm] mal vor.

Ganz schön umständlich, muss ich zugeben, aber die Aufgabe ist auch nicht einfach.

Könnte sein, dass ein paar Flüchtigkeitsfehler dabei sind, aber prinzipiell müsste es so funktionieren.

MfG
Jan

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #72 (IrMO),(Folgen): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 So 14.08.2005
Autor: Stefan

Hallo Jan!

Ich glaube ich brauche länger um deine Lösungen nachzuvollziehen (was aber an mir liegt und sicherlich nicht an der sehr guten Darstellung der Lösung) als du für das Finden der Lösungen selbst benötigst. ;-)

Also: Ich konnte keinen Fehler finden und bin begeistert! [huepf]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
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