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Forum "Mathematik-Wettbewerbe" - Aufgabe #86 (INMO),(ZT)
Aufgabe #86 (INMO),(ZT) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Übungsaufgabe
Status: (Übungsaufgabe) Übungsaufgabe Status 
Datum: 15:36 Sa 27.08.2005
Autor: Hanno

Hallo an alle!

Man zeige: es gibt keine positiven, ganzen Zahlen $m,n$ mit [mm] $\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m} [/mm] = 4$.


Liebe Grüße,
Hanno

        
Bezug
Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:17 Di 30.08.2005
Autor: Toellner

Hallo Hanno,

die Gleichung

> [mm]\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m} = 4[/mm]

mit m malnehmen und umformen:
[mm]\frac{m^{2}}{n} = 4m - n - 1 [/mm].
Dann ist auf der linken Seite m durch n teilbar, weil die rechte Seite eine ganze Zahl ist, und wegen des Quadrats gleich zweimal, also müsste die rechte Seite auch durch n teilbar sein: n teilt 4m und n, aber nicht 1, außer n = 1. Dann ist aber m² = 2(2m-1) als Quadratzahl genau einmal durch 2 teilbar: Widerspruch!
Also gibt es keine ganzen n und m, die die Gleichung erfüllen.

Grüße Richard

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Bezug
Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Di 30.08.2005
Autor: Stefan

Hallo Richard!

Ich antworte mal für Hanno, er ist sicherlich noch in der Schule:

Alles richtig, sehr schöne Lösung! [daumenhoch]

Leider doch nicht, siehe Kommentar von Teletubyyy!

Leibe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Aufgabe #86 (INMO),(ZT): n|m^2=>n|m??? Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:36 Mi 31.08.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo Richard,

> die Gleichung
>  > [mm]\frac{m}{n}+\frac{n+1}{m} = 4[/mm]

>  mit m malnehmen und
> umformen:
>  [mm]\frac{m^{2}}{n} = 4m - n - 1 [/mm].
>  Dann ist auf der linken
> Seite m durch n teilbar,

Es folgt doch aus der Gleichung lediglich, dass [mm] m^2 [/mm] durch n teilbar ist. Und da m und n nicht zwangsläufig teilerfremd zu sein brauchen, gilt doch auch nicht [mm] $n|m^2 \Rightarrow [/mm] n|m$. Denn setzt man n=12 und m=6 so gilt ja beispielsweise 12|36 , aber sicher nicht 12|6, da 12>6....
Ich bin im Moment jedenfalls leicht verwirrt [keineahnung]..

Gruß Samuel

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Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Mi 31.08.2005
Autor: Stefan

Hallo samuel!

Du hast vollkommen Recht, das habe ich leider auch übersehen. [peinlich]

Wir müssen es also noch einmal versuchen... ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                        
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Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Mi 31.08.2005
Autor: Stefan

Lieber Samuel!

Gut, dann macht man das Ganze halt mit einem Primteiler $p$ von $n$. Dann funktioniert die Argumentation aber doch, oder?

Übrigens: Wie gefällt dir dein Name (Samuel) eigentlich? Ich frage aus nicht ganz uneigennützigem Interesse, denn ich werde in  knapp drei Monaten Vater eines Sohnes und wir schwanken noch zwischen mehreren Namen... ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                
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Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:59 Mi 31.08.2005
Autor: Hanno

Hallo Stefan!

Ja, ich denke, dass die modifizierte Argumentation in Bezug auf die Primteiler von $n$ so richtig sein sollte!


Liebe Grüße,
Hanno

Bezug
                                
Bezug
Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:09 Mi 31.08.2005
Autor: Teletubyyy

Hallo Steffan,

> Lieber Samuel!
>  
> Gut, dann macht man das Ganze halt mit einem Primteiler [mm]p[/mm]
> von [mm]n[/mm]. Dann funktioniert die Argumentation aber doch,
> oder?

Ich denk prinzipiell geht die Argumentation in ordnung, aber man müsste den (ziemlich trivialen) Fall, dass n eine Quadradzahl ist, noch gesondert untersuchen (Denn dann gibt es kein $p|n : [mm] p|m^2/n$; [/mm] allerdings teilt dann [mm] \wurzel{n} [/mm] n und m und damit auch die -1)
Damit hätt ich meinen Senf auch noch dazu gegeben ;-)

> Übrigens: Wie gefällt dir dein Name (Samuel) eigentlich?
> Ich frage aus nicht ganz uneigennützigem Interesse, denn
> ich werde in  knapp drei Monaten Vater eines Sohnes und wir
> schwanken noch zwischen mehreren Namen... ;-)

Coole Frage ;-)! Aber im ernst, ich bin mit meinem Namen schon ganz zufrieden. Aber ihr habt ja auch noch Zeit mit der Namenswahl. Viel erfolg dabei !!!

Gruß Samuel


Bezug
                                        
Bezug
Aufgabe #86 (INMO),(ZT): Editiert
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Mi 31.08.2005
Autor: Stefan

Lieber Samuel!

>  Ich denk prinzipiell geht die Argumentation in ordnung,
> aber man müsste den (ziemlich trivialen) Fall, dass n eine
> Quadradzahl ist, noch gesondert untersuchen (Denn dann gibt
> es kein [mm]p|n : p|m^2/n[/mm]; allerdings teilt dann [mm]\wurzel{n}[/mm] n
> und m und damit auch die -1)
>  Damit hätt ich meinen Senf auch noch dazu gegeben ;-)

Okay. Du hast vollkommen Recht, ich hatte mich zunächst vertan.

> Coole Frage ;-)! Aber im ernst, ich bin mit meinem Namen
> schon ganz zufrieden.

Er ist auch mein persönlicher Favorit! [daumenhoch] Klassisch-biblisch, nicht zu häufig in Deutschland verbreitet, international, passt gut zum voraussichtlichen Aussehen des Jungen und auch ganz gut zu "Hartmann".

Außerdem ist es dann so: Wenn ich "Samuel!" rufe, lautet ja die Übersetzung: "Gott hört!", und das passt ja irgendwie... [totlach]

Aber es stehen noch mehr Namen zur Auswahl!

> Aber ihr habt ja auch noch Zeit mit
> der Namenswahl. Viel erfolg dabei !!!

Danke! :-)

Liebe Grüße
Stefan


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